Rezolvare BAC 2022 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea specială 2022 (Proba E.c) — mai 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √2(√2 − 1)(2 + √2) = 2.

√2(√2 − 1) = 2 − √2.
(2 − √2)(2 + √2) = 4 − 2 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x² − 4x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox.

f(x) = 0 ⇔ 2x² − 4x = 0 ⇔ 2x(x − 2) = 0.
x = 0 sau x = 2.
Răspuns
x = 0 și x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2ˣ⁻³ = 12²ˣ.

12²ˣ = 2⁻²ˣ, deci x − 3 = −2x.
3x = 3, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 11.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
Multiplii lui 11 de două cifre: 11, 22, …, 99, adică 9 cazuri favorabile.
p = 990 = 110.
Răspuns
p = 110
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1, 0), B(0, 3) și C(4, 0). Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

AC = 4 − (−1) = 5 (punctele sunt pe axa Ox).
BC = √4² + 3² = 5, deci AC = BC și triunghiul e isoscel.
Răspuns
AC = BC = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră E(x) = tg x + sin(3x2) − 2cos(x2), unde x∈(0, π2). Arătați că E(π3) = 1.

tg(π3) = √3, sin(π2) = 1 și cos(π6) = √32.
E(π3) = √3 + 1 − 2·(√32) = 1.
Răspuns
E(π3) = 1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea M(x) = x+1−x−2x2x+1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(M(1)) = 4.

M(1) = 2−1−23.
det(M(1)) = 2·3 − (−1)·(−2) = 6 − 2 = 4.
Răspuns
det(M(1)) = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că M(x)·M(1) = M(4x + 1), pentru orice număr real x.

M(x)·M(1) = 4x+2−4x−1−8x−28x+3.
M(4x + 1) = (4x+1)+1−(4x+1)−2(4x+1)2(4x+1)+1 = 4x+2−4x−1−8x−28x+3.
Răspuns
M(x)·M(1) = M(4x + 1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care M(x)·M(1)·M(1) = M(x + 2).

Din b): M(x)·M(1)·M(1) = M(4x + 1)·M(1) = M(4(4x + 1) + 1) = M(16x + 5).
M(16x + 5) = M(x + 2) ⇔ 16x + 5 = x + 2, deci x = −15.
Răspuns
x = −15
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 5xy + 10x + 10y + 18.

a) (5p) Arătați că (−1) ∘ 0 = 8.

(−1) ∘ 0 = 0 − 10 + 0 + 18 = 8.
Răspuns
(−1) ∘ 0 = 8
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x ∘ y = 5(x + 2)(y + 2) − 2, pentru orice numere reale x și y.

5(x + 2)(y + 2) = 5xy + 10x + 10y + 20.
Scăzând 2: 5xy + 10x + 10y + 18 = x ∘ y.
Răspuns
x ∘ y = 5(x + 2)(y + 2) − 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul întreg m pentru care m ∘ m = m.

Din b): 5(m + 2)² − 2 = m ⇔ 5m² + 19m + 18 = 0 ⇔ (m + 2)(5m + 9) = 0.
m = −2 sau m = −95; cum m e întreg, m = −2.
Răspuns
m = −2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(1, +∞)→R, f(x) = x² + 1x − 1 + ln(x − 1).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x² − x − 2(x − 1)², x∈(1, +∞).

(x² + 1x − 1)' = 2x(x − 1) − (x² + 1)(x − 1)² = x² − 2x − 1(x − 1)².
f'(x) = x² − 2x − 1(x − 1)² + 1x − 1 = x² − 2x − 1 + x − 1(x − 1)² = x² − x − 2(x − 1)².
Răspuns
f'(x) = x² − x − 2(x − 1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.

f(2) = 5 + ln1 = 5 și f'(2) = 0.
Tangenta: y − 5 = 0·(x − 2), adică y = 5.
Răspuns
y = 5
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că x² + 1x − 1 + ln(x − 1) ≥ 5, pentru orice x∈(1, +∞).

x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1): f e descrescătoare pe (1, 2] și crescătoare pe [2, +∞).
Deci f(x) ≥ f(2) = 5, pentru orice x > 1.
Răspuns
f(x) ≥ f(2) = 5
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 46x² + 1.