Rezolvare BAC 2019 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (vară) 2019 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul b₃ al progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, știind că b₁ = 1 și rația q = 5.

b₃ = b₁·q² = 1·5² = 25.
Răspuns
b₃ = 25
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x² − x + 1 și g:R→R, g(x) = 4x − 5. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.

f(x) = g(x) ⇔ x² − x + 1 = 4x − 5 ⇔ x² − 5x + 6 = 0.
Rădăcinile: x = 2 și x = 3.
Răspuns
x = 2 și x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √2x + x = 4.

√2x = 4 − x; ridicând la pătrat: 2x = 16 − 8x + x², adică x² − 10x + 16 = 0.
Rădăcinile sunt x = 2 și x = 8.
Verificare: x = 2 dă √4 + 2 = 4, convine; x = 8 dă √16 + 8 = 12 ≠ 4, nu convine.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {√1, √2, √3, …, √49}, acesta să fie număr natural.

A are 49 de elemente, deci 49 de cazuri posibile.
√k e natural doar când k e pătrat perfect: k ∈ {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}, deci 7 cazuri favorabile.
p = 749 = 17.
Răspuns
p = 17
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,3), B(−3,0) și C(−3,6). Determinați ecuația medianei din A a triunghiului ABC.

Mijlocul lui BC: M(−3 − 32, 0 + 62) = M(−3, 3).
A(2,3) și M(−3,3) au aceeași ordonată, deci mediana AM are ecuația y = 3.
Răspuns
y = 3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin x(3sin x − cos x) + cos x(sin x + 3cos x) = 3, pentru orice număr real x.

Desfacem parantezele: 3sin²x − sin x·cos x + cos x·sin x + 3cos²x = 3sin²x + 3cos²x.
3(sin²x + cos²x) = 3·1 = 3, pentru orice x real.
Răspuns
expresia este egală cu 3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a4−4a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(−1)) = 17.

A(−1) = −14−4−1, deci det(A(−1)) = −14−4−1 = (−1)·(−1) − (−4)·4 = 1 + 16 = 17.
Răspuns
17
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(2019 − a) + A(2019 + a) = 2A(2019), pentru orice număr real a.

A(2019 − a) + A(2019 + a) = 2019−a4−42019−a + 2019+a4−42019+a = 40388−84038.
40388−84038 = 220194−42019 = 2A(2019).
Răspuns
A(2019 − a) + A(2019 + a) = 2A(2019)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile de numere reale x și y, pentru care A(x)A(y) = 2A(−8).

A(x)A(y) = x4−4x·y4−4y = xy−164x+4y−4x−4yxy−16.
2A(−8) = −168−8−16.
Egalând elementele: xy − 16 = −16 și 4x + 4y = 8, adică xy = 0 și x + y = 2.
Deci x = 0, y = 2 sau x = 2, y = 0.
Răspuns
(x, y) ∈ {(0, 2), (2, 0)}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea G = (−2, 2) se definește legea de compoziție x∗y = 4x + 4y4 + xy.

a) (5p) Arătați că 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗0 = 4x + 4·04 + x·0 = 4x4 = x, pentru orice x ∈ G.
0∗x = 4·0 + 4x4 + 0·x = 4x4 = x, pentru orice x ∈ G, deci 0 este elementul neutru.
Răspuns
e = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați x ∈ G, pentru care x∗x = 85.

x∗x = 8x4 + x², deci 8x4 + x² = 85 ⇔ 40x = 32 + 8x² ⇔ x² − 5x + 4 = 0.
Rădăcinile sunt x = 1 și x = 4; doar x = 1 ∈ (−2, 2), deci x = 4 nu convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră funcția f:(0,+∞)→G, f(x) = 2(x − 1)x + 1. Demonstrați că f(xy) = f(x)∗f(y), pentru orice x, y ∈ (0, +∞).

Numărătorul: 4f(x) + 4f(y) = 8(x − 1)(y + 1) + 8(y − 1)(x + 1)(x + 1)(y + 1) = 8(2xy − 2)(x + 1)(y + 1) = 16(xy − 1)(x + 1)(y + 1).
Numitorul: 4 + f(x)f(y) = 4(x + 1)(y + 1) + 4(x − 1)(y − 1)(x + 1)(y + 1) = 4(2xy + 2)(x + 1)(y + 1) = 8(xy + 1)(x + 1)(y + 1).
Împărțind: f(x)∗f(y) = 16(xy − 1)8(xy + 1) = 2(xy − 1)xy + 1 = f(xy).
Răspuns
f(xy) = f(x)∗f(y)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = 1 − 2x + 2ln(x + 1).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −2xx + 1, x ∈ (−1, +∞).

f'(x) = −2 + 2x + 1.
Aducem la același numitor: f'(x) = −2x − 2 + 2x + 1 = −2xx + 1.
Răspuns
f'(x) = −2xx + 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 1 − 0 + 2ln1 = 1 și f'(0) = 0.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = 1.
Răspuns
y = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ln(1 + cos x) ≤ cos x, pentru orice x ∈ (0, π).

x + 1 > 0, deci f'(x) ≥ 0 pe (−1, 0] și f'(x) ≤ 0 pe [0, +∞): f crește pe (−1, 0] și scade pe [0, +∞).
Deci x = 0 e punct de maxim: f(x) ≤ f(0) = 1, adică 1 − 2x + 2ln(x + 1) ≤ 1, deci ln(x + 1) ≤ x, pentru orice x ∈ (−1, +∞).
Pentru x ∈ (0, π), cos x ∈ (−1, 1), deci putem înlocui x cu cos x: ln(1 + cos x) ≤ cos x.
Răspuns
inegalitatea este adevărată
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 3eˣ.