Rezolvare BAC 2022 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (iunie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (iunie) 2022 (Proba E.c) — iunie 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ), știind că a₂ = 6 și a₃ = 12.

Rația progresiei: r = a₃ − a₂ = 12 − 6 = 6.
a₁ = a₂ − r = 6 − 6 = 0.
Răspuns
a₁ = 0
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − 5. Determinați numărul real a pentru care f(a) + f(2a) = 2.

f(a) + f(2a) = (a − 5) + (2a − 5) = 3a − 10.
3a − 10 = 2, deci 3a = 12 și a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5ˣ·(15) = 25.

5ˣ·(15) = 5ˣ⁻¹, iar 25 = 5², deci 5ˣ⁻¹ = 5².
x − 1 = 2, deci x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 16.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
Multiplii de 16 de două cifre: 16, 32, 48, 64, 80, 96, adică 6 cazuri favorabile.
p = 690 = 115.
Răspuns
p = 115
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 2) și B(1, 4). Determinați coordonatele punctului C, astfel încât punctul A este mijlocul segmentului BC.

A e mijlocul lui BC: 3 = 1 + x_C2 și 2 = 4 + y_C2.
x_C = 5 și y_C = 0.
Răspuns
C(5, 0)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = sin x + sin(3x2) − cos(x2), unde x este număr real. Arătați că E(π3) = 1.

Pentru x = π3: sin(π3) = √32, sin(π2) = 1 și cos(π6) = √32.
E(π3) = √32 + 1 − √32 = 1.
Răspuns
E(π3) = 1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1−1−11, I₂ = 1001 și B(x) = x3−x2−xx, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 0.

det A = 1·1 − (−1)·(−1) = 1 − 1 = 0.
Răspuns
det A = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că B(x) − B(0) = xA, pentru orice număr real x.

B(0) = 0320, deci B(x) − B(0) = x−x−xx.
Aceasta e x·1−1−11 = xA.
Răspuns
B(x) − B(0) = xA
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că matricea C(a) = B(a)·B(1) − B(a + 1) este inversabilă, pentru orice număr întreg a.

B(1) = 1211, deci B(a)·B(1) = 3a+324−a.
B(a + 1) = a+12−a1−aa+1, deci C(a) = 2−a2a+1a+13−2a.
det(C(a)) = (2 − a)(3 − 2a) − (2a + 1)(a + 1) = (2a² − 7a + 6) − (2a² + 3a + 1) = 5 − 10a.
5 − 10a = 0 doar pentru a = 12, care nu e întreg; deci pentru orice a întreg det(C(a)) ≠ 0 și C(a) e inversabilă.
Răspuns
det(C(a)) = 5 − 10a ≠ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = (2x − 1)(2y − 1) + 1.

a) (5p) Arătați că 1 ∗ 2 = 4.

1 ∗ 2 = (2·1 − 1)(2·2 − 1) + 1 = 1·3 + 1 = 4.
Răspuns
1 ∗ 2 = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x = 2.

x ∗ x = (2x − 1)² + 1 = 4x² − 4x + 2.
4x² − 4x + 2 = 2 ⇔ 4x² − 4x = 0 ⇔ 4x(x − 1) = 0, deci x = 0 sau x = 1.
Răspuns
x = 0 sau x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul întreg nenul m pentru care m ∗ (1 + 1m) = 1.

2(1 + 1m) − 1 = 1 + 2m, deci m ∗ (1 + 1m) = (2m − 1)(1 + 2m) + 1.
Egalitatea cu 1 cere (2m − 1)(1 + 2m) = 0: fie 2m − 1 = 0, adică m = 12 (nu e întreg), fie 1 + 2m = 0, adică m = −2.
Deci m = −2.
Răspuns
m = −2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x² + 1 + ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 4x² + 1x, x∈(0, +∞).

f'(x) = (2x²)' + 1' + (ln x)' = 4x + 1x = 4x² + 1x.
Răspuns
f'(x) = 4x² + 1x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ f(x) − ln xx² + x + 4 = 2.

f(x) − ln x = 2x² + 1, deci limita este limx→+∞ 2x² + 1x² + x + 4.
Împărțind numărătorul și numitorul la x²: limx→+∞ 2 + 1/x²1 + 1/x + 4/x² = 21 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f este bijectivă.

f'(x) > 0 pentru orice x∈(0, +∞), deci f e strict crescătoare, deci injectivă.
f e continuă, limx→0 f(x) = −∞ (din ln x) și limx→+∞ f(x) = +∞, deci ia toate valorile reale: e surjectivă.
Injectivă și surjectivă, deci bijectivă.
Răspuns
f este bijectivă
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x(eˣ + 2x²).