Inversa unei matrice la BAC
41 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Matrice, determinanți și sisteme liniare.
Cum rezolvi
A e inversabilă ⇔ det A ≠ 0. Inversa: A⁻¹ = (1det A)·A*, sau o citești dintr-o relație de forma A·B = I₂.
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 10 · M2: 13 · M3: 18
2026 4 cerințe
-
BAC 2026, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a111−1a321 și sistemul de ecuații liniare ax + y + z = 2ax − y + az = −43x + 2y + z = 8, unde a este număr real.
Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă.
-
BAC 2026, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(a) = 2aaaa−2, unde a este număr real.
Demonstrați că numărul N = det(M(n) − 3(M(1))⁻¹) este natural impar, pentru orice număr natural nenul n, unde (M(1))⁻¹ este inversa matricei M(1).
-
BAC 2026, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 4−xx−x1−x, unde x este număr real.
Arătați că matricea B=(12)(I₂−A(2)) este inversa matricei A(2).
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x,y) = x+yxy4x+y, unde x și y sunt numere reale.
Arătați că matricea A(x,y) este inversabilă, pentru orice numere reale distincte x și y.
2025 2 cerințe
-
BAC 2025, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2+2xx−x2−2x, unde x este număr real.
Determinați numărul întreg nenul m pentru care matricea B(m) = (1m)A(−m) este inversa matricei A(m).
-
BAC 2025, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A = −28−13.
Arătați că matricea B = (12)(I₂−A) este inversa matricei A.
2024 4 cerințe
-
BAC 2024, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = 1−1x−100x0−1, unde x este număr real.
Se consideră matricea B∈M₂,₃(R), B = 101010. Determinați matricea X∈M₂,₃(R) pentru care X·(A(0))⁻¹ = B·A(0), unde (A(0))⁻¹ este inversa matricei A(0).
-
BAC 2024, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(x) = 1xx00x−1x11, unde x este număr real.
Arătați că, dacă matricea A(x) este inversabilă, atunci și matricea A(−x) este inversabilă.
-
BAC 2024, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1a−10a, unde a este număr real.
Determinați inversa matricei B = A(2)·A(3).
-
BAC 2024, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele A = 1004 și B(a) = aa+1a−34a−1, unde a este număr real.
Determinați numerele reale a pentru care matricea C(a) = B(a) − aA nu este inversabilă.
2023 4 cerințe
-
BAC 2023, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = x+1−110x01−1x+1, unde x este număr real.
Determinați numerele reale a și b pentru care (A(1))⁻¹ = aA(1) + bI₃, unde (A(1))⁻¹ este inversa matricei A(1).
-
BAC 2023, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = −1221, B(a) = a+211a, I₂ = 1001, unde a este un număr real.
Demonstrați că B(q − 1) este inversabilă pentru orice număr rațional q.
-
BAC 2023, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 2121−1aaa+1−2 și sistemul de ecuații 2x+y+2z=2x−y+az=4ax+(a+1)y−2z=a, unde a este număr real.
Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele A = −1221, I₂ = 1001 și B(a) = a+211a, unde a este număr real.
Demonstrați că matricea B(a − 1) este inversabilă, pentru orice număr rațional a.
2022 3 cerințe
-
BAC 2022, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 01−10 și B(x) = xI₂ + iA, unde x este număr real și i² = −1.
Determinați perechile (m, n) de numere întregi pentru care matricea B(m) + iB(n) nu este inversabilă.
-
BAC 2022, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele A = 1−1−11, I₂ = 1001 și B(x) = x3−x2−xx, unde x este număr real.
Arătați că matricea C(a) = B(a)·B(1) − B(a + 1) este inversabilă, pentru orice număr întreg a.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 55−4−4 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea X(a) nu este inversabilă.
2021 6 cerințe
-
BAC 2021, model · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricea A(a) = 3aa3, unde a este număr real.
Determinați numărul natural m pentru care matricea B = A(m) + A(m²) nu este inversabilă.
-
BAC 2021, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a1−22132a−121 și sistemul de ecuații ax + y − 2z = 22x + y + 3z = 1(2a−1)x + 2y + z = a, unde a este număr real.
Determinați numărul real a pentru care matricea A(a) nu este inversabilă.
-
BAC 2021, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = x+23−1x−2, unde x este număr real.
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care matricea A(x) este inversabilă.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 1000a01+log₂a01, unde a ∈ (0, +∞).
Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0, +∞), matricea A(a) este inversabilă.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = 1000a01+log₂a01, unde a ∈ (0, +∞).
Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0, +∞), det(A(a) + (A(a))⁻¹) ≥ 8, unde (A(a))⁻¹ este inversa matricei A(a).
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x,y) = x+3y4y−2yx−3y, unde x și y sunt numere reale.
Demonstrați că, dacă matricea A(x,y) este inversabilă, atunci |x| ≠ |y|.
2020 4 cerințe
-
BAC 2020, model · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A(a) = a222 și B(b) = 2b22, unde a și b sunt numere reale.
Determinați inversa matricei A(1).
-
BAC 2020, model · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele A(a) = a222 și B(b) = 2b22, unde a și b sunt numere reale.
Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea C(a) = B(a)·A(a) este inversabilă.
-
BAC 2020, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = aa+1a+2a²+1a²+2a²+3124, unde a este număr real.
Demonstrați că, pentru orice număr real a, matricea A(a) este inversabilă.
-
BAC 2020, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = aa+1a+2a²+1a²+2a²+3124, unde a este număr real.
Determinați numerele întregi a pentru care inversa matricei A(a) are toate elementele numere întregi.
2019 4 cerințe
-
BAC 2019, model · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele A = 14−3−2, B = 5−1−21 și I₂ = 1001.
Determinați inversa matricei B.
-
BAC 2019, model · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele A = 14−3−2, B = 5−1−21 și I₂ = 1001.
Arătați că matricea X ∈ M₂(R), care verifică egalitatea A + X = B, este inversabilă.
-
BAC 2019, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele A = 1120 și B = 3122.
Arătați că, dacă X ∈ M₂(R) astfel încât X + A = B, atunci matricea X este inversabilă.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricea A(a) = 1−2a2a−3a1+3a, unde a este număr real.
Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea A(a) este inversabilă.
2018 6 cerințe
-
BAC 2018, model · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(x,y) = xy11xyx1y, unde x și y sunt numere reale.
Determinați numărul real x pentru care inversa matricei B = A(x,0)·A(x,0) este matricea A(x,0).
-
BAC 2018, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele A = 1010−111−10 și I₃ = 100010001.
Determinați inversa matricei B = A + I₃.
-
BAC 2018, model · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele M = 1324, I₂ = 1001 și A(a) = aI₂ + M, unde a este număr real.
Arătați că inversa matricei A(1) este matricea 54−34−1212.
-
BAC 2018, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = 1102, I₂ = 1001 și M(a) = aA + I₂, unde a este număr real.
Determinați inversa matricei M(−2).
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 5148 și M(a) = a−214a+1, unde a este număr real.
Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea M(a) este inversabilă.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele A = −24−12, I₂ = 1001 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că inversa matricei I₂ + A este matricea I₂ − A.
2017 4 cerințe
-
BAC 2017, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(m) = m−1−12m−2, unde m este număr real.
Demonstrați că matricea A(m) este inversabilă, pentru orice număr real m.
-
BAC 2017, model · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 1222 și I₂ = 1001.
Demonstrați că inversa matricei A este matricea −111−12.
-
BAC 2017, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricea A(a) = a243, unde a este număr real.
Arătați că inversa matricei A(3) este matricea 3−2−43.
-
BAC 2017, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricea A(a) = a243, unde a este număr real.
Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea A(a) este inversabilă.