Calculul determinantului la BAC
197 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Matrice, determinanți și sisteme liniare.
Cum rezolvi
Scrii întâi matricea cerută (de exemplu A(1)), apoi aplici ad − bc la ordinul 2 sau regula lui Sarrus la ordinul 3.
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 54 · M2: 92 · M3: 51
2026 18 cerințe
-
BAC 2026, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a111−1a321 și sistemul de ecuații liniare ax + y + z = 2ax − y + az = −43x + 2y + z = 8, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 4.
-
BAC 2026, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 1a−a1−a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2026, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(a) = 2aaaa−2, unde a este număr real.
Arătați că det(M(4)) = 0.
-
BAC 2026, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x2−xx−13−x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(4)) = 2.
-
BAC 2026, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x2−xx−13−x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(0)·A(1) − A(x)) = 0, pentru orice număr real x.
-
BAC 2026, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x2−xx−13−x, unde x este număr real.
Arătați că numărul N = det(A(n) + nI₂) este natural par, pentru orice număr natural n.
-
BAC 2026, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 1−2aa02a1−a0001−3a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 4.
-
BAC 2026, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2x+104xx+1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 6.
-
BAC 2026, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2x+104xx+1, unde x este număr real.
Demonstrați că det(A(x) + A(1x) − 2I₂) ≥ 8, pentru orice număr real nenul x.
-
BAC 2026, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = x22xx+4, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2026, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 1aaa3a021 și sistemul de ecuații liniare x+ay+az=1ax+3y+az=02y+z=0, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 2.
-
BAC 2026, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 2a+2−aa−31, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 2.
-
BAC 2026, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = x1x−12, unde x este număr real.
Arătați că det(A(4)) = 5.
-
BAC 2026, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 4−xx−x1−x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 2.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 1a−2a2−1−a1−a0 și sistemul de ecuații liniare x+ay−2az=−12x−y−az=ax−ay=a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 4.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x,y) = x+yxy4x+y, unde x și y sunt numere reale.
Arătați că det(A(1,2))=1.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 1a−13a−33a−2, unde a este număr real.
Arătați că det(A(2))=1.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 20xx−3, unde x este număr real.
Arătați că det(A(5))=4.
2025 19 cerințe
-
BAC 2025, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a1−a31−21−3a și sistemul de ecuații ax + y − az = 13x + y − 2z = 1x − 3y + az = −3, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = −2.
-
BAC 2025, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = x+1−x−2x2x+1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 4.
-
BAC 2025, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a3aa2a+3, unde a este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 2.
-
BAC 2025, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 0100 și B(x) = 2x3x+11−x1, unde x este număr real.
Arătați că det(B(1)) = 2.
-
BAC 2025, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 6.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 0100 și B(x) = 2x3x+11−x1, unde x este număr real.
Arătați că, pentru orice numere întregi m și n, numărul N = det(B(2m) − B(2n + 1)) este natural, multiplu impar de 3.
-
BAC 2025, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și M(x) = 2x3x−3−x−2x100x+1, unde x este număr real.
Arătați că det(M(0)) = 0.
-
BAC 2025, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2+2xx−x2−2x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2025, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 12−21 și B(x) = 2x−12x, unde x este număr real.
Arătați că det A = 5.
-
BAC 2025, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 1−131 și B(a, b) = aaba, unde a și b sunt numere reale.
Arătați că det(B(1, −1)) = 2.
-
BAC 2025, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 1−131 și B(a, b) = aaba, unde a și b sunt numere reale.
Știind că a și b sunt numere reale, a ≠ 0, astfel încât det(aA − B(a, b)) = 0, arătați că 3a = b.
-
BAC 2025, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = 2−3x0x020−9x02+3x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 8.
-
BAC 2025, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A = −28−13.
Arătați că detA = 2.
-
BAC 2025, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 5221, B = 533−1 și I₂ = 1001.
Arătați că detA = 1.
-
BAC 2025, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(x) = 23xx2, unde x este număr real.
Arătați că det(M(1)) = 1.
-
BAC 2025, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 6.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(x) = 23xx2, unde x este număr real.
Demonstrați că numărul natural N = det(2M(1)+nI₂) este multiplu de 4, pentru orice număr natural par n.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a12aa1011−a și sistemul de ecuații ax+y+2az=a+1ax+y=0x+y−az=−1, unde a este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 4.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1−x3x−x1+4x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 3.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2x−x−2, unde x este număr real.
Arătați că det(A(5)) = 21.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(a) = a1−32−a, unde a este număr real.
Arătați că det(M(1)) = 4.
2024 18 cerințe
-
BAC 2024, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = 1−1x−100x0−1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 1.
-
BAC 2024, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = 1−1x−100x0−1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(x)·A(x) − I₃) ≤ 0, pentru orice număr real x.
-
BAC 2024, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x3x−31−x3x−2, unde x este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 3.
-
BAC 2024, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1002ˣ, unde x este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 4.
-
BAC 2024, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 36−1−2 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că det A = 0.
-
BAC 2024, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = 1xx00x−1x11, unde x este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 3.
-
BAC 2024, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1112 și B(x) = x+1x+42x4x−3, unde x este număr real.
Arătați că det A = 1.
-
BAC 2024, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1xx+10, unde x este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 0.
-
BAC 2024, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1a−10a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 2.
-
BAC 2024, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea M(x) = x000x+2x02xx+2, unde x este număr real.
Arătați că det(M(1)) = 7.
-
BAC 2024, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1004 și B(a) = aa+1a−34a−1, unde a este număr real.
Arătați că det(B(1)) = 7.
-
BAC 2024, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = xx−1−2x2, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 2.
-
BAC 2024, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a+222a−6, unde a este număr real.
Arătați că det(A(6)) = −4.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 000010001 și B(x) = 2ˣ0001x0x1, unde x este număr real.
Arătați că det(B(1)) = 0.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 2−110 și B(x) = xx−33−xx−4, unde x este număr real.
Arătați că detA = 1.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2x+111x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 2.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a+1−11a−1, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 6.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a+1−11a−1, unde a este număr real.
Demonstrați că det(A(a) + I₂) ≥ 0, pentru orice număr real a.
2023 16 cerințe
-
BAC 2023, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a121a−1221 și sistemul de ecuații ax + y + 2z = −2x + ay − z = 42x + 2y + z = 2, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 1.
-
BAC 2023, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = x+1−110x01−1x+1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 3.
-
BAC 2023, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = x+2−22x−1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 8.
-
BAC 2023, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(x) = x+2−22x−1, unde x este număr real.
Arătați că, dacă x și y sunt numere reale distincte astfel încât det(A(x)) = det(A(y)), atunci x + y = −1.
-
BAC 2023, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a−12a1−2a111−a și sistemul de ecuații ax − y + 2az = 0x − 2y + az = 0x + y + (1 − a)z = 0, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 1.
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1−aa−3a3a+1, unde a este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 5.
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = aa+3−12, unde a este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 9.
-
BAC 2023, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 2121−1aaa+1−2 și sistemul de ecuații 2x+y+2z=2x−y+az=4ax+(a+1)y−2z=a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 8.
-
BAC 2023, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 3+a2−2a1−a1+3a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 1.
-
BAC 2023, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 3+a2−2a1−a1+3a, unde a este număr real.
Demonstrați că det(A(a²) − aA(a)) ≥ 0, pentru orice număr real a.
-
BAC 2023, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 3221, B = 0442 și C = −1221.
Arătați că detA = −1.
-
BAC 2023, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 101−1, B = 120−1, I₂ = 1001 și O₂ = 0000.
Arătați că detA = −1.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = xxx1x1−1−x−1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 0.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 12−1−2 și B(x) = x+12x+1x−12x−1, unde x este număr real.
Arătați că det(B(2)) = 4.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = x1−x2−x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 2.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = −1221, I₂ = 1001 și B(a) = a+211a, unde a este număr real.
Arătați că det(B(0)) = −1.
2022 18 cerințe
-
BAC 2022, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 13a21−1a31 și sistemul de ecuații x + 3y + az = 22x + y − z = −1ax + 3y + z = 1, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 0.
-
BAC 2022, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 01−10 și B(x) = xI₂ + iA, unde x este număr real și i² = −1.
Arătați că det A = 1.
-
BAC 2022, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = xx12x+1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 0.
-
BAC 2022, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 231−2 și I₂ = 1001.
Arătați că det(A) = −7.
-
BAC 2022, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 231−2 și I₂ = 1001.
Arătați că det(A + xI₂) ≥ −7, pentru orice număr real x.
-
BAC 2022, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₃ = 100010001, O₃ = 000000000 și A(x) = x+1−x0x1−x0001, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2022, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea M(x) = x+1−x−2x2x+1, unde x este număr real.
Arătați că det(M(1)) = 4.
-
BAC 2022, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 2113 și B(x) = 2−xxx2, unde x este număr real.
Arătați că det A = 5.
-
BAC 2022, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A(x, y) = xy12, B = 12−10 și I₂ = 1001, unde x și y sunt numere reale.
Arătați că det B = 2.
-
BAC 2022, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A(x, y) = xy12, B = 12−10 și I₂ = 1001, unde x și y sunt numere reale.
Arătați că det(A(2n, 2n + 1)) este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul n.
-
BAC 2022, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = 1−xx²01−2x001, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2022, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1−1−11, I₂ = 1001 și B(x) = x3−x2−xx, unde x este număr real.
Arătați că det A = 0.
-
BAC 2022, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 2143, B = 2−213 și C = 2−123.
Arătați că det A = 2.
-
BAC 2022, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 1031, B = 10−31 și I₂ = 1001.
Arătați că det(A) = 1.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = x1−x11−xx1110, unde x este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 2.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1−xxx+1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 3.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 7331, B = 111−1 și I₂ = 1001.
Arătați că det A = −2.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 55−4−4 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că det A = 0.
2021 22 de cerințe
-
BAC 2021, model · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a,b,c) = 111abcbcacab, unde a, b și c sunt numere reale.
Arătați că det(A(0,1,2)) = 2.
-
BAC 2021, model · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a,b,c) = 111abcbcacab, unde a, b și c sunt numere reale.
Demonstrați că det(A(a,b,c)) = (b − a)(c − a)(c − b), pentru orice numere reale a, b și c.
-
BAC 2021, model · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a,b,c) = 111abcbcacab, unde a, b și c sunt numere reale.
Demonstrați că, dacă m, n și p sunt numere naturale, cu m < n < p, astfel încât determinantul matricei A(m,n,p) este număr prim, atunci numerele m, n și p sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
-
BAC 2021, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 2a−14a−41−a3−2a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 1.
-
BAC 2021, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1312 și I₂ = 1001.
Arătați că det A = −1.
-
BAC 2021, model · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricea A(a) = 3aa3, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 8.
-
BAC 2021, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră sistemul de ecuații ax + (a+1)y + (a+2)z = abx + (b+1)y + (b+2)z = by + z = 1 și matricea X(a,b) = aa+1a+2bb+1b+2011, unde a și b sunt numere reale.
Arătați că det(X(0,1)) = 1.
-
BAC 2021, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră a un număr real nenul și matricea A(x) = 1+2x0−4x0a0x01−2x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(x)) = a, pentru orice număr real x.
-
BAC 2021, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 24−1−2, B = −2−613 și M(x) = A + xB, unde x este număr real.
Arătați că det A = 0.
-
BAC 2021, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 13−11, I₂ = 1001 și B(n) = A·A·…·A (de n ori A), unde n este număr natural nenul.
Arătați că det A = 4.
-
BAC 2021, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 13−11, I₂ = 1001 și B(n) = A·A·…·A (de n ori A), unde n este număr natural nenul.
Arătați că det(A + xI₂) ≥ 3, pentru orice număr real x.
-
BAC 2021, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a1−22132a−121 și sistemul de ecuații ax + y − 2z = 22x + y + 3z = 1(2a−1)x + 2y + z = a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(4)) = 5.
-
BAC 2021, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(a) = a+20−a0203a02−3a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 8.
-
BAC 2021, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1+2ᵃ2ᵃ−2ᵃ1−2ᵃ, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 1.
-
BAC 2021, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 3−221, B = 4−331 și I₂ = 1001.
Arătați că det A = 7.
-
BAC 2021, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 1−1−24, I₂ = 1001 și B(x) = x−2−x−2x4x−2, unde x este număr real.
Arătați că det A = 2.
-
BAC 2021, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = x+23−1x−2, unde x este număr real.
Arătați că det(A(0)) = −1.
-
BAC 2021, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 4−321 și B(x) = x1−1x, unde x este număr real.
Arătați că det A = 10.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 1000a01+log₂a01, unde a ∈ (0, +∞).
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x,y) = x+3y4y−2yx−3y, unde x și y sunt numere reale.
Arătați că det(A(1,1)) = 0.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 5−2−11 și B(x) = x−2x1−1, unde x este număr real.
Arătați că det A = 3.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 16−2−7 și B(x) = 2x+2x−2−2, unde x este număr real.
Arătați că det A = 5.
2020 20 de cerințe
-
BAC 2020, model · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a21a411−1a și sistemul de ecuații ax + 2y + z = 4ax + 4y + z = 6x − y + az = 1, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 0.
-
BAC 2020, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a,b) = a2b−ba, unde a și b sunt numere reale.
Arătați că det(A(1,1)) = 3.
-
BAC 2020, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = −290−2 și B(x) = x−3x0x, unde x este număr real.
Arătați că det A = 4.
-
BAC 2020, model · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A(a) = a222 și B(b) = 2b22, unde a și b sunt numere reale.
Arătați că det(A(3)) = 2.
-
BAC 2020, model · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele A(a) = a222 și B(b) = 2b22, unde a și b sunt numere reale.
Demonstrați că det(A(a) + B(b)) = det(A(a)) + det(B(b)) dacă și numai dacă a = b.
-
BAC 2020, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 12−aaa11a2a−5a−2 și sistemul de ecuații x + (2 − a)y + az = 1ax + y + z = 2 − aax + (2a − 5)y + (a − 2)z = −4, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 3.
-
BAC 2020, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 12−aaa11a2a−5a−2 și sistemul de ecuații x + (2 − a)y + az = 1ax + y + z = 2 − aax + (2a − 5)y + (a − 2)z = −4, unde a este număr real.
Demonstrați că det(A(a)) = (a − 1)(a − 3)(3a + 1), pentru orice număr real a.
-
BAC 2020, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = x+2x+3x−3x−2, unde x este număr real.
Arătați că det(A(x)) = 5, pentru orice număr real x.
-
BAC 2020, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 16−1−4, B = 1224 și O₂ = 0000.
Arătați că det A = 2.
-
BAC 2020, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 5445, I₂ = 1001 și O₂ = 0000.
Arătați că det A = 9.
-
BAC 2020, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 6.
Se consideră matricele A = 5445, I₂ = 1001 și O₂ = 0000.
Demonstrați că det(A + xI₂) + det(A − xI₂) ≥ 18, pentru orice număr real x.
-
BAC 2020, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = aa+1a+2a²+1a²+2a²+3124, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = −1.
-
BAC 2020, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 12+aa1+a3+a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 36.
-
BAC 2020, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1302 și I₂ = 1001.
Arătați că det A = 2.
-
BAC 2020, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricea A(a) = 1a01, unde a este număr real.
Arătați că det(A(5)) = 1.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = 101+ln x0x0001, unde x ∈ (0,+∞).
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A = a00b, unde a și b sunt numere reale.
Arătați că det(A·A) = a²b², pentru orice numere reale a și b.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a+111a−1, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = −2.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 12−11, I₂ = 1001 și B(x) = 1x01, unde x este număr real.
Arătați că det A = 3.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = 12−11, I₂ = 1001 și B(x) = 1x01, unde x este număr real.
Arătați că det(B(x)) = 1, pentru orice număr real x.
2019 20 de cerințe
-
BAC 2019, model · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea M(m) = 124−1m−1m13 și sistemul de ecuații x + 2y + 4z = 5−x + my − z = −2mx + y + 3z = 4, unde m este număr real.
Arătați că det(M(0)) = 3.
-
BAC 2019, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 2a132a−11a−3a1 și sistemul de ecuații 2x + ay + z = 13x + (2a−1)y + z = 1(a−3)x + ay + z = 2a−1, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = −5.
-
BAC 2019, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x,y) = x−yyx, unde x și y sunt numere reale.
Arătați că det(A(1,1)) = 2.
-
BAC 2019, model · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 14−3−2, B = 5−1−21 și I₂ = 1001.
Arătați că det A = 10.
-
BAC 2019, model · M3 · Subiectul al III-lea, 6.
Se consideră matricele A = 14−3−2, B = 5−1−21 și I₂ = 1001.
Demonstrați că det(A + aI₂) > 0, pentru orice număr real a.
-
BAC 2019, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a+10001ln(a+1)001, unde a este număr real, a > 0.
Arătați că det(A(1)) = 2.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 1133 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că det(M(1)) = 5.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele M = 2112, I₂ = 1001 și A(a) = a132, unde a este număr real.
Arătați că det M = 3.
-
BAC 2019, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a0−a020−a0a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(a)) = 0, pentru orice număr real a.
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a4−4a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(−1)) = 17.
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 6−103−5, I₂ = 1001 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că det A = 0.
-
BAC 2019, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 1120 și B = 3122.
Arătați că det A = −2.
-
BAC 2019, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 1120 și B = 3122.
Calculați det(A + B).
-
BAC 2019, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = a111−a−111a și sistemul de ecuații ax+y+z=1x−ay−z=1x+y+az=2, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 0.
-
BAC 2019, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = a111−a−111a și sistemul de ecuații ax+y+z=1x−ay−z=1x+y+az=2, unde a este număr real.
Demonstrați că det(A(a)) = a(1 − a)(1 + a), pentru orice număr real a.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(a) = a+1001a100a+1, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 4.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 1+4a−6a2a1−3a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 2.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1234 și M(a) = 1+a−aa1−a, unde a este număr real.
Arătați că det A = −2.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricea A(a) = 1−2a2a−3a1+3a, unde a este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 1.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele M = −12−6−9 și A(a) = a+1a+2a−2a+1, unde a este număr real.
Arătați că det M = 21.
2018 21 de cerințe
-
BAC 2018, model · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x,y) = xy11xyx1y, unde x și y sunt numere reale.
Arătați că det(A(2,3)) = 12.
-
BAC 2018, model · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x,y) = xy11xyx1y, unde x și y sunt numere reale.
Demonstrați că det(A(n², n)) ≥ 0, pentru orice număr natural n.
-
BAC 2018, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1010−111−10 și I₃ = 100010001.
Arătați că det A = 2.
-
BAC 2018, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(m) = 12mm+1, unde m este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 1.
-
BAC 2018, model · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele M = 1324, I₂ = 1001 și A(a) = aI₂ + M, unde a este număr real.
Arătați că det M = −2.
-
BAC 2018, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea M(a) = 111a+1−1111−a și sistemul de ecuații x + y + z = 2(a+1)x − y + z = 0x + y − az = 1, unde a este număr real.
Arătați că det(M(−1)) = 0.
-
BAC 2018, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea X(a,b) = ab9ba, unde a și b sunt numere reale.
Arătați că det(X(3,1)) = 0.
-
BAC 2018, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x1−12, unde x este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 5.
-
BAC 2018, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea M(m) = 2m1112m1112m și sistemul de ecuații 2mx + y + z = −1x + 2my + z = 0x + y + 2mz = 1, unde m este număr real.
Arătați că det(M(0)) = 2.
-
BAC 2018, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x+2x1−2, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = −7.
-
BAC 2018, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1−526, B = 65−21 și I₂ = 1001.
Arătați că det A = 16.
-
BAC 2018, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele A = 1−526, B = 65−21 și I₂ = 1001.
Demonstrați că det(xA + (1x)·B) ≥ 49, pentru orice număr real nenul x.
-
BAC 2018, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 1102, I₂ = 1001 și M(a) = aA + I₂, unde a este număr real.
Arătați că det A = 2.
-
BAC 2018, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 1102, I₂ = 1001 și M(a) = aA + I₂, unde a este număr real.
Demonstrați că det(M(a)) = (a + 1)(2a + 1), pentru orice număr real a.
-
BAC 2018, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele A = 1102, I₂ = 1001 și M(a) = aA + I₂, unde a este număr real.
Demonstrați că det(M(a) − 2aA) ≠ 1, pentru orice număr întreg nenul a.
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea X(a) = a51a, unde a este număr real.
Arătați că det(X(1)) = −4.
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 13−12, I₂ = 1001 și B(x) = 2x11, unde x este număr real.
Arătați că det A = 5.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = 1x−2001000eˣ⁻², unde x este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 1.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = −3−232 și M(x) = I₂ + xA, unde x este număr real.
Arătați că det(M(1)) = 0.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 5148 și M(a) = a−214a+1, unde a este număr real.
Arătați că det A = 36.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = −24−12, I₂ = 1001 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că det A = 0.
2017 25 de cerințe
-
BAC 2017, model · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A(x) = x000x0001 și B(x) = 00x0x0200, unde x este număr real.
Calculați det(A(2)).
-
BAC 2017, model · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A(x) = x000x0001 și B(x) = 00x0x0200, unde x este număr real.
Demonstrați că det(A(x) + B(x)) = det(B(x)), pentru orice număr real x.
-
BAC 2017, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(m) = m−1−12m−2, unde m este număr real.
Calculați det(A(0)).
-
BAC 2017, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1248, B = 8421 și I₂ = 1001.
Calculați det A.
-
BAC 2017, model · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 1222 și I₂ = 1001.
Calculați det A.
-
BAC 2017, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = 11112ˣ4ˣ1x2x, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2017, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = 11112ˣ4ˣ1x2x, unde x este număr real.
Demonstrați că det(A(x)) = (2ˣ − 1)(2ˣ + x − x·2ˣ), pentru orice număr real x.
-
BAC 2017, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = xx+112x1301, unde x este număr real.
Arătați că det(A(0)) = 1.
-
BAC 2017, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1202 și B = −1−220.
Arătați că det A = 2.
-
BAC 2017, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(a) = 11212a−2−13 și sistemul de ecuații x + y + 2z = 0x + 2y + az = 0−2x − y + 3z = 0, unde a este număr real.
Arătați că det(A(9)) = 0.
-
BAC 2017, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = 0xx0, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = −1.
-
BAC 2017, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 3223 și B = 111a, unde a este număr real.
Arătați că det A = 5.
-
BAC 2017, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele A = 3223 și B = 111a, unde a este număr real.
Arătați că det(A·B − B·A) ≥ 0, pentru orice număr real a.
-
BAC 2017, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricea A(a) = a243, unde a este număr real.
Arătați că det(A(1)) = −5.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = 2−x0x−10102(1−x)02x−1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(2)) = 2.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = 2−x0x−10102(1−x)02x−1, unde x este număr real.
Demonstrați că det(A(x)A(−x)) ≤ 0, pentru orice număr real x.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 1331 și B = 022x, unde x este număr real.
Arătați că det A = −8.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele A = 1331 și B = 022x, unde x este număr real.
Demonstrați că det(A·B − B·A) ≥ 0, pentru orice număr real x.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = x11x+1111x1, unde x este număr real.
Arătați că det(A(0)) = −1.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricea A(x) = 12x+551, unde x este număr real.
Arătați că det(A(−2)) = −4.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele A = 133−4 și B = 2222.
Arătați că det A = −13.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = 6−5−11 și B = 1516.
Arătați că det A = 1.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele A = 6−5−11 și B = 1516.
Arătați că det(A + B) + det(A − B) = 2(det A + det B).
-
BAC 2017, sesiunea a II-a, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, a)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = 00xx000x0, unde x este număr real.
Arătați că det(A(1)) = 1.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = 00xx000x0, unde x este număr real.
Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n, numărul det(A(n)A(n) + A(n) + I₃) este pătratul unui număr natural.