Calcul cu matrice la BAC
69 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Matrice, determinanți și sisteme liniare.
Cum rezolvi
Faci pe rând operațiile: adunare element cu element, înmulțire linie × coloană. Compari rezultatul, element cu element, cu matricea din enunț.
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 2 · M2: 31 · M3: 36
2026 5 cerințe
-
BAC 2026, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(a) = 2aaaa−2, unde a este număr real.
Arătați că M(1)·M(1) − M(1) = 3I₂.
-
BAC 2026, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x2−xx−13−x, unde x este număr real.
Arătați că A(5)·(3I₂ − A(5)) = 2I₂.
-
BAC 2026, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = x22xx+4, unde x este număr real.
Arătați că 3A(3) − A(1) = 2A(4).
-
BAC 2026, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = x1x−12, unde x este număr real.
Arătați că 2A(1)+A(4) = 3A(2).
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(a) = 1a−13a−33a−2, unde a este număr real.
Arătați că 2A(2)+A(5)=3A(3).
2025 7 cerințe
-
BAC 2025, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 0100 și B(x) = 2x3x+11−x1, unde x este număr real.
Arătați că B(1)·B(2) − B(2) = 11A.
-
BAC 2025, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2+2xx−x2−2x, unde x este număr real.
Arătați că A(2)·A(1) + 3A(−2) = 16I₂.
-
BAC 2025, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 12−21 și B(x) = 2x−12x, unde x este număr real.
Arătați că A + 3I₂ = 2B(1).
-
BAC 2025, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 1−131 și B(a, b) = aaba, unde a și b sunt numere reale.
Arătați că A·B(1, −3) = 4I₂.
-
BAC 2025, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(x) = 23xx2, unde x este număr real.
Arătați că M(1)+2M(4) = 3M(3).
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2x−x−2, unde x este număr real.
Arătați că 2A(−1)+A(5) = 3A(1).
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(a) = a1−32−a, unde a este număr real.
Arătați că 3M(4) − M(2) = 2M(5).
2024 9 cerințe
-
BAC 2024, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1002ˣ, unde x este număr real.
Arătați că A(3) + 2A(1) = 3A(2).
-
BAC 2024, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 36−1−2 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că A·A = A.
-
BAC 2024, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 6.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 36−1−2 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Demonstrați că, dacă a și b sunt numere reale distincte pentru care X(a)·X(a) = X(b)·X(b), atunci a + b + 2 = 0.
-
BAC 2024, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1xx+10, unde x este număr real.
Arătați că A(3) + A(5) = 2A(4).
-
BAC 2024, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1a−10a, unde a este număr real.
Arătați că 2A(3) − A(5) = I₂.
-
BAC 2024, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 1004 și B(a) = aa+1a−34a−1, unde a este număr real.
Arătați că B(2) − B(0)·B(1) = 4A.
-
BAC 2024, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = xx−1−2x2, unde x este număr real.
Arătați că A(2) + A(0) = 2A(1).
-
BAC 2024, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a+222a−6, unde a este număr real.
Arătați că A(3)·A(1) = 19I₂.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2x+111x, unde x este număr real.
Arătați că A(1) + A(5) = 2A(3).
2023 5 cerințe
-
BAC 2023, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 1.
Se consideră matricele A = −1221, B(a) = a+211a, I₂ = 1001, unde a este un număr real.
Arătați că A·A = 5I₂.
-
BAC 2023, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 3221, B = 0442 și C = −1221.
Arătați că 2B − A = 3C.
-
BAC 2023, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 101−1, B = 120−1, I₂ = 1001 și O₂ = 0000.
Arătați că A·A − B·B = O₂.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricea A(x) = x1−x2−x, unde x este număr real.
Arătați că 3A(2) + A(6) = 4A(3).
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = −1221, I₂ = 1001 și B(a) = a+211a, unde a este număr real.
Arătați că A·A = 5I₂.
2022 8 cerințe
-
BAC 2022, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 2113 și B(x) = 2−xxx2, unde x este număr real.
Arătați că 2A − B(2) = 2B(0).
-
BAC 2022, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 2143, B = 2−213 și C = 2−123.
Arătați că A + 2B = 3C.
-
BAC 2022, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 1031, B = 10−31 și I₂ = 1001.
Arătați că A·A − 2A = −I₂.
-
BAC 2022, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = 1031, B = 10−31 și I₂ = 1001.
Arătați că A·B = B·A = I₂.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1−xxx+1, unde x este număr real.
Arătați că A(−1)·A(2) − A(−1) = 2I₂.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 7331, B = 111−1 și I₂ = 1001.
Arătați că A − 4I₂ = 3B.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 55−4−4 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că A·A = A.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 55−4−4 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că X(−1) + X(1) = 2I₂.
2021 12 cerințe
-
BAC 2021, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 1312 și I₂ = 1001.
Arătați că A·A − 3A = I₂.
-
BAC 2021, model · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricea A(a) = 3aa3, unde a este număr real.
Arătați că A(0)·A(2020) = 3A(2020).
-
BAC 2021, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = 13−11, I₂ = 1001 și B(n) = A·A·…·A (de n ori A), unde n este număr natural nenul.
Arătați că există un număr real a, astfel încât B(3) = aI₂.
-
BAC 2021, simulare · M3 · Subiectul al III-lea, 5.
Se consideră matricele A = 13−11, I₂ = 1001 și B(n) = A·A·…·A (de n ori A), unde n este număr natural nenul.
Se consideră matricea M = xyzt ∈ M₂(R), astfel încât A·M = M·A. Arătați că x + y + 3z − t = 0.
-
BAC 2021, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1+2ᵃ2ᵃ−2ᵃ1−2ᵃ, unde a este număr real.
Se consideră numerele naturale m și n, astfel încât A(m)·A(n) = A(m + n). Arătați că m = n = 1.
-
BAC 2021, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 3−221, B = 4−331 și I₂ = 1001.
Arătați că 2B + I₂ = 3A.
-
BAC 2021, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = 1−1−24, I₂ = 1001 și B(x) = x−2−x−2x4x−2, unde x este număr real.
Arătați că A·A = B(5).
-
BAC 2021, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(x) = x+23−1x−2, unde x este număr real.
Se consideră numerele reale a, b și c, astfel încât A(a)·A(b) = A(c). Demonstrați că a² + b² + 2c = 3.
-
BAC 2021, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 4−321 și B(x) = x1−1x, unde x este număr real.
Arătați că 2B(5) + B(−1) = 3B(3).
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 5−2−11 și B(x) = x−2x1−1, unde x este număr real.
Arătați că 3B(2) + B(6) = 4B(3).
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 16−2−7 și B(x) = 2x+2x−2−2, unde x este număr real.
Arătați că 2B(1) − A = 3I₂.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 16−2−7 și B(x) = 2x+2x−2−2, unde x este număr real.
Arătați că B(1)·B(3) − 3I₂ = 2B(0).
2020 6 cerințe
-
BAC 2020, model · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A(a) = a222 și B(b) = 2b22, unde a și b sunt numere reale.
Arătați că A(2)·B(2) = 2(A(2) + B(2)).
-
BAC 2020, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 16−1−4, B = 1224 și O₂ = 0000.
Arătați că B·A + B = O₂.
-
BAC 2020, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 5445, I₂ = 1001 și O₂ = 0000.
Arătați că (A − I₂)(A − 9I₂) = O₂.
-
BAC 2020, sesiune specială · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = 5445, I₂ = 1001 și O₂ = 0000.
Se consideră matricea B = A − 5I₂. Demonstrați că suma elementelor matricei B·B este divizibilă cu 2⁵.
-
BAC 2020, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 1302 și I₂ = 1001.
Arătați că 3A − A·A = 2I₂.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 12−11, I₂ = 1001 și B(x) = 1x01, unde x este număr real.
Arătați că B(1) + B(3) = 2B(2).
2019 5 cerințe
-
BAC 2019, model · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 14−3−2, B = 5−1−21 și I₂ = 1001.
Arătați că B·B = 6B − 3I₂.
-
BAC 2019, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(a) = a0−a020−a0a, unde a este număr real.
Demonstrați că matricea B = A(log₂3)·A(log₃4)·A(log₄5)·…·A(log₁₅16) are toate elementele numere întregi.
-
BAC 2019, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = 1120 și B = 3122.
Arătați că A·A = B.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricea A(a) = 1−2a2a−3a1+3a, unde a este număr real.
Arătați că A(1) + A(5) = 2A(3).
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricea A(a) = 1−2a2a−3a1+3a, unde a este număr real.
Arătați că A(1)·A(2) = A(5).
2018 5 cerințe
-
BAC 2018, model · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele M = 1324, I₂ = 1001 și A(a) = aI₂ + M, unde a este număr real.
Calculați suma elementelor matricei A(2017).
-
BAC 2018, model · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele M = 1324, I₂ = 1001 și A(a) = aI₂ + M, unde a este număr real.
Arătați că M·M = 5M + 2I₂.
-
BAC 2018, sesiunea I · M3 · Subiectul al III-lea, 4.
Se consideră matricele A = 1102, I₂ = 1001 și M(a) = aA + I₂, unde a este număr real.
Arătați că M(1)·M(2) = 3(A·A + I₂).
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 13−12, I₂ = 1001 și B(x) = 2x11, unde x este număr real.
Arătați că, dacă A + B(x) = 3I₂, atunci A·B(x) = 5I₂.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = −24−12, I₂ = 1001 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.
Arătați că A·A = O₂, unde O₂ = 0000.
2017 7 cerințe
-
BAC 2017, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 1248, B = 8421 și I₂ = 1001.
Arătați că 9(A + B) − (A·B + B·A) = 45I₂.
-
BAC 2017, model · M3 · Subiectul al III-lea, 3.
Se consideră matricele A = 1222 și I₂ = 1001.
Arătați că A·A − 3A = 2I₂.
-
BAC 2017, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 1202 și B = −1−220.
Arătați că (A + B)(B − A) = 000−12.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră matricea A(x) = 2−x0x−10102(1−x)02x−1, unde x este număr real.
Arătați că, dacă numerele naturale m și n verifică relația A(m)A(n) = A(2), atunci m + n = 3.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 1331 și B = 022x, unde x este număr real.
Arătați că A·A − 2A = 8I₂, unde I₂ = 1001.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră matricele A = 133−4 și B = 2222.
Arătați că A·B − B·A = 010−100.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al III-lea, 2.
Se consideră matricele A = 6−5−11 și B = 1516.
Arătați că A·B − B·A = O₂, unde O₂ = 0000.