Șiruri de integrale la BAC
20 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2025, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Limite, derivate și integrale.
Cum rezolvi
Pentru o relație de recurență integrezi prin părți în Iₙ₊₁; pentru limită folosești monotonia și mărginirea șirului sau încadrezi integrala.
2025 2 cerințe
-
BAC 2025, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²2x² + 1.
Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] xⁿf(√(eˣ)) dx. Arătați că (n + 1)Iₙ − Iₙ₊₁ = 2(n + 1)n + 2 + 1e, pentru orice număr natural nenul n.
-
BAC 2025, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 4eˣ.
Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] xⁿf(x) dx. Arătați că Iₙ₊₁ + 4Iₙ ≤ en + 1, pentru orice număr natural nenul n.
2024 1 cerință
-
BAC 2024, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 1eˣ.
Pentru fiecare număr natural n, n ≥ 2, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] xⁿ⁻¹f(xⁿ) dx. Demonstrați că ln2n ≤ Iₙ ≤ e − 1n, pentru orice număr natural n, n ≥ 2.
2022 2 cerințe
-
BAC 2022, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3 − x + √x² + 9.
Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] xⁿf(x) dx. Demonstrați că limn→+∞ Iₙ = 0.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x√x² + 4.
Pentru fiecare număr natural n, n ≥ 2, se consideră numărul Iₙ = ∫[1,2] xⁿf²(x) dx. Determinați numărul natural n, n ≥ 2, pentru care Iₙ₊₂ + 4Iₙ = 3n − 1.
2021 2 cerințe
-
BAC 2021, model · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2(x + 3)√(x² + 4x + 5).
Se consideră numerele reale a și b, cu 0 ≤ a < b. Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[a,b] fⁿ(x) dx. Demonstrați că limn→+∞ Iₙ = +∞.
-
BAC 2021, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx² + x + 3.
Se consideră numerele reale a și b, cu 0 ≤ a < b. Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[a,b] fⁿ(x) dx. Demonstrați că limn→+∞ Iₙ = 0.
2020 4 cerințe
-
BAC 2020, model · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 4x² + 4.
Pentru fiecare număr natural n, se consideră Iₙ = ∫[1,2] xⁿf(x) dx. Demonstrați că limn→+∞ Iₙ = −∞.
-
BAC 2020, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx² + 2x + 5.
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[−1,1] x2n−1·f(x) dx. Demonstrați că limn→+∞ Iₙ = 0.
-
BAC 2020, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x√(x³ + 1).
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] f(xⁿ) dx. Demonstrați că limn→+∞ Iₙ = 0.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 − 2xx² + 3 − 2x² + 3.
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] fⁿ(x) dx. Arătați că limn→+∞ Iₙ = 0.
2019 2 cerințe
-
BAC 2019, model · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xeˣ.
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră Iₙ = ∫[0,1] xⁿf(x) dx. Demonstrați că limn→+∞ (n + 2)Iₙ = 1e.
-
BAC 2019, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²x² + 9.
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră Iₙ = ∫[0,1] x²ⁿf(x) dx. Arătați că limn→+∞ Iₙ = 0.
2018 3 cerințe
-
BAC 2018, model · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = e−x².
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[1n,1] f(x) dx. Demonstrați că șirul (Iₙ)ₙ≥₁ este convergent.
-
BAC 2018, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R, f(x) = 2x + 3x + 3.
Pentru fiecare număr natural n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] eˣ(x + 3)ⁿ(f(x))ⁿ dx. Demonstrați că Iₙ + 2nIₙ₋₁ = e·5ⁿ − 3ⁿ, pentru orice număr natural n, n ≥ 1.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 4x − x².
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,4] fⁿ(x) dx. Demonstrați că Iₙ₊₁ ≤ 4Iₙ, pentru orice număr natural nenul n.
2017 4 cerințe
-
BAC 2017, model · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] xⁿx² + 2x + 2 dx.
Demonstrați că Iₙ₊₁ + 2Iₙ + 2Iₙ₋₁ = 1n, pentru orice număr natural n, n ≥ 2.
-
BAC 2017, model · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] xⁿx² + 2x + 2 dx.
Demonstrați că limn→+∞ n·Iₙ = 15.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[1,e] x·lnⁿx dx.
Demonstrați că Iₙ₊₁ ≤ Iₙ, pentru orice număr natural nenul n.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[1,e] x·lnⁿx dx.
Demonstrați că 2Iₙ₊₁ + (n + 1)Iₙ = e², pentru orice număr natural nenul n.