Primitive la BAC
38 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Limite, derivate și integrale.
Cum rezolvi
F e primitivă a lui f dacă F′ = f: derivezi F și verifici. Primitiva cu o condiție F(a) = b o găsești din F(x) = G(x) + C, aflând constanta C.
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 12 · M2: 26
2026 2 cerințe
-
BAC 2026, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = (4x + 6x²)·ln x.
Determinați primitiva F:(0, +∞)→R a funcției f, pentru care axa Ox este tangentă la graficul funcției F.
-
BAC 2026, simulare · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² + 4x)e⁻ˣ.
Se consideră funcția g:(0, +∞)→R, g(x) = f(x²)x². Demonstrați că orice primitivă G:(0, +∞)→R a funcției g este concavă.
2024 1 cerință
-
BAC 2024, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² + 1)eˣ.
Demonstrați că funcția F:R→R, F(x) = (x² − 2x + 3)eˣ este o primitivă a funcției f.
2023 3 cerințe
-
BAC 2023, simulare · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ + x.
Se consideră funcția g:(0, +∞)→R, g(x) = f(x)e⁻ˣx. Arătați că orice primitivă G:(0, +∞)→R a funcției g este concavă.
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x³ + 3x.
Demonstrați că orice primitivă G:(0, +∞)→R a funcției g:(0, +∞)→R, g(x) = (1√x)·f(x) este crescătoare.
-
BAC 2023, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 3x² + 4ln x.
Demonstrați că ∫[1,√e] f(x)F''(x) dx = (3e − 1)(3e + 5)2, pentru orice primitivă F:(0,+∞)→R a funcției f.
2022 2 cerințe
-
BAC 2022, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 1eˣ.
Arătați că orice primitivă G a funcției g:R→R, g(x) = 1f(x) este convexă.
-
BAC 2022, simulare · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + 2xeˣ.
Determinați numărul real a pentru care ∫[0,1] F(x)f''(x) dx = a(e + 1)e², unde F:R→R este primitiva funcției f cu proprietatea F(0) = 0.
2021 6 cerințe
-
BAC 2021, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (12)·(1x² + 1 − 1x² + 3).
Demonstrați că orice primitivă F a funcției f este strict crescătoare.
-
BAC 2021, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (12)·(1x² + 1 − 1x² + 3).
Arătați că, pentru orice numere reale a și b, cu a < b, ∫[a,b] f(x)F²(x) dx > 0, pentru orice primitivă F a funcției f.
-
BAC 2021, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 + 2x² + 1.
Demonstrați că F(x + 1) ≥ F(x) + 1, pentru orice număr real x, unde F este o primitivă a lui f.
-
BAC 2021, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x² + 2 + x√(x² + 2).
Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe R.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 + 2xx⁴ + 1.
Se consideră F:R→R o primitivă a funcției f. Știind că graficul funcției F are asimptotă oblică spre +∞, determinați panta acestei asimptote.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 + 2xx⁴ + 1.
Se consideră funcția G:R→R, primitiva funcției f pentru care G(0) = 0. Arătați că ∫[0,1] xG(x) dx = 13 + π8 − (14)·ln2.
2020 4 cerințe
-
BAC 2020, model · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 4x² + 4.
Demonstrați că orice primitivă a funcției f este concavă pe (−∞,0].
-
BAC 2020, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xeˣ + x.
Se consideră F:R→R, primitiva funcției f pentru care F(1) = 0. Arătați că ∫[0,1] F(x) dx = 5 − 3e3.
-
BAC 2020, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 + xx² + 1 − 2x² + 1.
Determinați primitiva F a funcției f pentru care F(0) = 0.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 2√(x² + 4).
Determinați F:R→R, primitiva lui f pentru care F(0) = 0.
2019 7 cerințe
-
BAC 2019, model · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, a)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x² + 1x.
Determinați primitiva F a funcției f pentru care F(1) = 0.
-
BAC 2019, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, a)
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = 1ln x.
Arătați că orice primitivă a funcției f este strict crescătoare pe intervalul (1, +∞).
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x³x + 1.
Arătați că funcția F:(−1,+∞)→R, F(x) = x³3 − x²2 + x − ln(x + 1) este o primitivă a funcției f.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 8x − 2 pentru x ∈ (−∞, 0] și f(x) = x − 2 pentru x ∈ (0, +∞).
Demonstrați că funcția f admite primitive pe R.
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 3eˣ.
Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe intervalul [−3, +∞).
-
BAC 2019, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²x² + 9.
Demonstrați că orice primitivă a funcției f are un singur punct de inflexiune.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x − 1)eˣ.
Demonstrați că F:R→R, F(x) = (x − 2)eˣ + 2019 este o primitivă a funcției f.
2018 7 cerințe
-
BAC 2018, model · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = e−x².
Arătați că orice primitivă a funcției f este concavă pe (0,+∞).
-
BAC 2018, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² + x + 1)eˣ.
Demonstrați că orice primitivă a funcției f are exact două puncte de inflexiune.
-
BAC 2018, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ − 6x² + 12x + 5.
Demonstrați că orice primitivă a funcției f este o funcție convexă pe R.
-
BAC 2018, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x² + 1.
Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe R.
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1eˣ + x.
Demonstrați că orice primitivă a funcției f este concavă pe intervalul (−∞, 0].
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xeˣ.
Demonstrați că orice primitivă a funcției f are un singur punct de inflexiune.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x² − x pentru x∈(−∞, 1] și f(x) = 2 + (1x)·ln x pentru x∈(1, +∞).
Arătați că funcția f admite primitive pe R.
2017 6 cerințe
-
BAC 2017, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = √x(x + 1)².
Demonstrați că orice primitivă a funcției f este strict crescătoare pe intervalul (0,+∞).
-
BAC 2017, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + x + 1.
Demonstrați că funcția F:R→R, F(x) = (13)x³ + (12)x² + x + 2017 este o primitivă a funcției f.
-
BAC 2017, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1x² + 1.
Determinați primitiva F a funcției f, știind că F(1) = π4 + 1.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x² + 2x − 4.
Determinați primitiva F a funcției f pentru care F(1) = 2017.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x² + 22x.
Determinați primitiva F a funcției f, pentru care F(1) = 1.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 5x.
Arătați că funcția F:R→R, F(x) = (13)x³ + (52)x² + 2017 este o primitivă a funcției f.