Număr de soluții și imaginea funcției la BAC
32 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Limite, derivate și integrale.
Cum rezolvi
Faci tabelul de variație al lui f (monotonie și limite la capete): numărul de intersecții ale graficului cu dreapta y = m dă numărul de soluții ale ecuației f(x) = m.
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 24 · M2: 8
2026 4 cerințe
-
BAC 2026, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(1, +∞)→R, f(x) = eˣ⁻²√(x − 1).
Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x) = mx are exact două soluții.
-
BAC 2026, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = (x − 1)√x + 2√x.
Determinați imaginea funcției f.
-
BAC 2026, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³−4xx²+5.
Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x)=m are exact trei soluții.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x²−4x−3−(2x−3)e2x.
Demonstrați că ecuația f(x)+n=0 are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n.
2025 3 cerințe
-
BAC 2025, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x − 2x + 2 + ln(x + 2x).
Determinați numerele naturale n pentru care ecuația f(x) = n nu are soluții.
-
BAC 2025, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x − 2 + ln xx.
Determinați cel mai mare număr întreg m pentru care ecuația f(x) = m are cel puțin o soluție.
-
BAC 2025, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 2x + ln(xx+2).
Demonstrați că funcția f este bijectivă.
2024 4 cerințe
-
BAC 2024, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x + 6)√x² + 4.
Demonstrați că ecuația f(x) = m are soluție unică, pentru orice număr întreg m.
-
BAC 2024, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(1, +∞)→R, f(x) = 4x³(x − 1)².
Arătați că ecuația f(x) = m are exact două soluții, pentru orice m∈(27, +∞).
-
BAC 2024, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ(2x − 4) + x² − 2x + 4.
Arătați că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² − 2)e²ˣ.
Determinați imaginea funcției f.
2023 3 cerințe
-
BAC 2023, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − 1 − ln(eˣ + x²).
Determinați imaginea funcției f.
-
BAC 2023, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x5 − ln(x² + x + 5).
Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are soluție unică.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3eˣx² + x + 1.
Demonstrați că ecuația f(x) = m are exact trei soluții, pentru orice m ∈ (e, 3).
2022 4 cerințe
-
BAC 2022, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = √(x⁴ + 16)x.
Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația f(x) + f(4x) = m are exact două soluții.
-
BAC 2022, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2 + xeˣ − x.
Demonstrați că, pentru orice m∈(1, 2], ecuația f(x) = m are soluție unică.
-
BAC 2022, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x² + 1 + ln x.
Demonstrați că funcția f este bijectivă.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 3x + 1eˣ.
Demonstrați că ecuația f(x) = n are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n.
2021 3 cerințe
-
BAC 2021, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² − 9)(x² − 4) + 3.
Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația f(x) = m are exact patru soluții reale.
-
BAC 2021, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − √x² + 3.
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care ecuația f(x) = a are soluție.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x⁴ − 2 − 4ln x.
Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții distincte în intervalul (0, +∞).
2020 3 cerințe
-
BAC 2020, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x⁴ − x² + 1.
Demonstrați că, pentru orice m ∈ (√32, 1), ecuația f(x) = m are exact patru soluții reale.
-
BAC 2020, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x√x² + 2x + 2.
Demonstrați că, pentru orice număr real a, ecuația f(x) = a are cel puțin o soluție.
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 2x + 3x² + 2x + 2.
Determinați imaginea funcției f.
2019 6 cerințe
-
BAC 2019, model · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − ln(x² + x + 1).
Demonstrați că pentru fiecare număr natural nenul n, ecuația f(x) + n = 0 are soluție unică.
-
BAC 2019, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ(x² + 4x + 1).
Determinați valorile reale ale lui a pentru care ecuația f(x) = a are exact trei soluții reale.
-
BAC 2019, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²e⁻ˣ.
Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0, 4e⁻²), ecuația f(x) = a are exact trei soluții reale.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x − ln xᵉ.
Demonstrați că ecuația eˣ = xᵉ are exact o soluție în (0,+∞).
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx⁶ + 5.
Determinați mulțimea valorilor funcției f.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx² + 4.
Determinați mulțimea valorilor funcției f.
2018 1 cerință
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = xx + 1 + x + 1x + 2 + x + 2x + 3.
Determinați imaginea funcției f.
2017 1 cerință
-
BAC 2017, model · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²⁰¹⁸ + 2018x + 2.
Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții reale distincte.