Inegalități și extreme la BAC
67 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Limite, derivate și integrale.
Cum rezolvi
Muți totul într-o parte, g(x) = … ≥ 0, studiezi monotonia lui g cu derivata și compari cu valoarea ei minimă (sau maximă).
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 12 · M2: 55
2026 4 cerințe
-
BAC 2026, simulare · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 1x − 1 + 4ln(x + 3).
Demonstrați că 1x² − 1x ≥ 4ln(x + 3x² + 3), pentru orice x∈(0, 1].
-
BAC 2026, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x² − 3x³.
Demonstrați că 9f(2x) − f(x) ≤ 4, pentru orice x∈[1, 2].
-
BAC 2026, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x⁴−4x³−12x²−1.
Demonstrați că 3x⁴+5≥4x³+12x², pentru orice x∈(−∞,0].
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²+8x−2x²+2.
Demonstrați că −2≤f(x)−f(y)≤2, pentru orice x,y∈[−4,0].
2025 7 cerințe
-
BAC 2025, simulare · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣx² + 3x + 3.
Demonstrați că f(x) − f(y) ≤ 3 − e3e, pentru orice numere reale x și y, cu x ≤ 0 ≤ y.
-
BAC 2025, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x² − 2 − ln x.
Arătați că 4x² − 12 ≥ ln(2x), pentru orice x∈(0, +∞).
-
BAC 2025, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 8eˣ.
Demonstrați că −4e² ≤ f(x) ≤ e³, pentru orice x∈[−3, 4].
-
BAC 2025, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x−2eˣ.
Demonstrați că −eˣ⁻¹ ≤ x−2 ≤ eˣ⁻³, pentru orice x∈[1,4].
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²+6√(x²+1).
Arătați că f(7x) − f(x) ≤ 2√2, pentru orice x∈[0,1].
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x²−3x−1+ln x.
Demonstrați că f(x)+f(y) ≤ −214, pentru orice x∈(0,1] și orice y∈[1,2].
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 2x²−1+4x.
Arătați că 6 ≤ 2x² + 4x ≤ 33, pentru orice x∈[14, 4].
2024 5 cerințe
-
BAC 2024, simulare · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x³ + 2x²)eˣ.
Arătați că −32eˣ⁺⁴ ≤ x²(x + 2) ≤ 1eˣ⁺¹, pentru orice x∈[−4, 0].
-
BAC 2024, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(2, +∞)→R, f(x) = eˣx² − 3.
Demonstrați că eˣ⁻³x² − 3 ≥ 16, pentru orice x∈(2, +∞).
-
BAC 2024, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 3 − xx² + ln x.
Arătați că 4f(x) − 1 ≥ ln16, pentru orice x∈(0, +∞).
-
BAC 2024, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2xx² + x + 4.
Arătați că f(x) − f(4 − x) ≤ 1, pentru orice x∈[4, +∞).
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x² − x − 2ln(x + 1).
Arătați că x² − x ≥ 2ln(x + 12), pentru orice x∈(−1,+∞).
2023 7 cerințe
-
BAC 2023, simulare · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x + 1 + ln xx.
Demonstrați că ln yy − ln xx < 1x − 1y, pentru orice x, y∈(1, +∞) cu x < y.
-
BAC 2023, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x − 1 + 8x.
Demonstrați că f(1 − x) ≥ f(1 + x), pentru orice x∈(0, 1).
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ(x² + 2x − 2).
Demonstrați că eˣ⁺⁴(x² + 2x − 2) ≤ 6, pentru orice x∈(−∞, 0].
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x² − 3x + 4 + ln x.
Demonstrați că f(x) ≤ 114 − ln2, pentru orice x∈(0, 1].
-
BAC 2023, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = x + 3ln(x + 3x − 1).
Arătați că ln(x + 33(x − 1)) ≥ 1 − x3, pentru orice x∈(1,+∞).
-
BAC 2023, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 5 + 4x − 4x².
Demonstrați că |f(x) − f(y)| ≤ 1, pentru orice x, y∈[1,+∞).
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = 3x²x² + x − 2.
Demonstrați că f(x) + f(x²) ≥ 173, pentru orice x∈(1,2].
2022 6 cerințe
-
BAC 2022, simulare · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 4√xx² + 3.
Demonstrați că √xx² + 3 > √(x + 1/x)x² + 1/x² + 5, pentru orice x∈(1, +∞).
-
BAC 2022, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x + 3x² + ln x.
Demonstrați că ln(x3) ≥ 23 − 1x − 3x², pentru orice x∈(0, +∞).
-
BAC 2022, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(1, +∞)→R, f(x) = x² + 1x − 1 + ln(x − 1).
Demonstrați că x² + 1x − 1 + ln(x − 1) ≥ 5, pentru orice x∈(1, +∞).
-
BAC 2022, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x³ − 3x⁴ + 2.
Demonstrați că −32 ≤ 2x³ − 3x⁴ ≤ 116, pentru orice x∈[0, 2].
-
BAC 2022, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 1.
Demonstrați că 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 3 ≥ 0, pentru orice x∈[−3, +∞).
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x² + x + 3 − 5ln x.
Demonstrați că 2x² + x ≥ 3 + 5ln x, pentru orice x∈(0, +∞).
2021 8 cerințe
-
BAC 2021, model · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x·eˣeˣ + 2.
Demonstrați că funcția f are un unic punct de extrem.
-
BAC 2021, model · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x² + 2x + 2 − x.
Demonstrați că √(x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2 − √4x² + 4x + 2 ≤ (x − 1)², pentru orice număr real x.
-
BAC 2021, model · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + xx² + 1.
Demonstrați că 2 − e2e ≤ f(x) ≤ 2e + 12, pentru orice x ∈ [−1, 1].
-
BAC 2021, simulare · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √e²ˣ + x⁴ + 2.
Demonstrați că funcția f are un unic punct de extrem.
-
BAC 2021, simulare · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x² + x + 1x² + 1.
Demonstrați că √2 ≤ √x² + x + 1x² + 1 + √x² − x + 1x² + 1 ≤ √6, pentru orice număr real x.
-
BAC 2021, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R, f(x) = x² + 4x − (12)ln(x + 2).
Demonstrați că x² + 4x + 154 ≥ (12)ln(2x + 4), pentru orice x ∈ (−2,+∞).
-
BAC 2021, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = eˣ + x·ln x − 1.
Demonstrați că eˣ + x·ln x ≥ √e + (12)·ln(12), pentru orice x ∈ [12, +∞).
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x³ − 3ln x.
Demonstrați că x³ ≥ 3ln x + 1, pentru orice x ∈ (0, +∞).
2020 6 cerințe
-
BAC 2020, model · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x² − 8x + 8ln x + 12 − 8ln2.
Se consideră numerele reale a, b și c astfel încât punctul M(a,b) este situat pe graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = x² − 8ln2 + 8ln x și punctul N(a,c) este situat pe graficul funcției h:(0,+∞)→R, h(x) = 8x − 12. Demonstrați că b ≥ c, pentru orice a ∈ [2,+∞).
-
BAC 2020, model · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ − x − 10.
Demonstrați că ex³ ≥ (x + 1)(x² − x + 1), pentru orice număr real x.
-
BAC 2020, model · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x(x² − 12) + 3.
Demonstrați că −13 ≤ f(x) ≤ 19, pentru orice x ∈ [−2,2].
-
BAC 2020, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 2x² + 1.
Demonstrați că f(x) + ln(x² + 1) < 52, pentru orice x ∈ [0,1].
-
BAC 2020, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R, f(x) = 1x − 2 + ln(x − 1x).
Demonstrați că 1x − 2 > ln(xx − 1), pentru orice x ∈ (2,+∞).
-
BAC 2020, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x·ln(x + 1).
Se consideră funcția g:(−1,0]→R, g(x) = (x + 1)ˣ. Demonstrați că, dacă x₁, x₂ ∈ (−1,0] astfel încât x₁ ≤ x₂, atunci g(x₁) ≥ g(x₂).
2019 6 cerințe
-
BAC 2019, model · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = ln x − 2(x − 1)x.
Demonstrați că f(π2) < 0.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 6x + 9eˣ.
Demonstrați că 0 ≤ (x + 3)(y + 3) ≤ 4ex + y + 22, pentru orice x, y ∈ [−3, +∞).
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 7x³ − 5x² + x + 1.
Demonstrați că f(x) ≤ 5249, pentru orice x ∈ (−∞, 13].
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = 1 − 2x + 2ln(x + 1).
Demonstrați că ln(1 + cos x) ≤ cos x, pentru orice x ∈ (0, π).
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ − 3x + 5.
Demonstrați că f(x) ≤ 7, pentru orice x ∈ (−∞, 1].
-
BAC 2019, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = √x − ln x.
Demonstrați că √x − ln(x4) ≥ 2, pentru orice x∈(0,+∞).
2018 11 cerințe
-
BAC 2018, model · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = eˣx − 1.
Demonstrați că ex−2 − x + 1 ≥ 0, pentru orice x ∈ (1,+∞).
-
BAC 2018, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = 2x³ − 3x² + 6x − 6ln(x + 1).
Demonstrați că valoarea minimă a funcției f este 0.
-
BAC 2018, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x − 1)eˣ + 1.
Demonstrați că ⁿ√e ≤ nn − 1, pentru orice număr natural n, n ≥ 2.
-
BAC 2018, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + x + 1x² + 2x + 2.
Demonstrați că 1 ≤ f(x) + f(y) ≤ 3, pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2018, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 8x² − ln x.
Demonstrați că f(13) < f(1√7) < f(12).
-
BAC 2018, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 1 − ln xx − 1x.
Demonstrați că ln x2√x ≤ 1 − 1√x, pentru orice x∈(0,+∞).
-
BAC 2018, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x − 2)eˣ.
Demonstrați că −e ≤ f(x) ≤ 0, pentru orice x∈(−∞,2].
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − 1x² + 3.
Demonstrați că −1 ≤ f(x) + f(y) ≤ 13, pentru orice numere reale x și y.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = (1√x)·ln x.
Demonstrați că 2√3 < 3√2.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 1x² + 3.
Demonstrați că f(√2) > f(∛3).
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ − 3x² + 3.
Demonstrați că f(x) ≥ −1, pentru orice x∈[0, +∞).
2017 7 cerințe
-
BAC 2017, model · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x³ − 3ln x.
Demonstrați că f(x) ≥ 1, pentru orice x ∈ (0,+∞).
-
BAC 2017, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 3eˣ.
Demonstrați că −2e ≤ f(x) ≤ 6e³, pentru orice x∈[−1, +∞).
-
BAC 2017, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ + 2x² + x.
Demonstrați că f(x) ≥ −427, pentru orice x∈[−1, +∞).
-
BAC 2017, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(1, +∞)→R, f(x) = ln x1 − x.
Demonstrați că x ln x > x − 1, pentru orice x ∈ (1, +∞).
-
BAC 2017, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ + 6x + 2.
Demonstrați că −5 ≤ f(x) ≤ 9, pentru orice x ∈ [−1, 1].
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 2x + ln x.
Demonstrați că 2x + ln x ≥ 1 + ln2, pentru orice x∈(0,+∞).
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x³ − 6x + 4.
Demonstrați că 0 ≤ f(x) ≤ 8, pentru orice x∈[−1,1].