Aria unei suprafețe la BAC
34 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Limite, derivate și integrale.
Cum rezolvi
Aria dintre grafic și Ox pe [a, b] este ∫[a,b] |f(x)| dx: studiezi semnul lui f, apoi calculezi integrala.
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 12 · M2: 22
2026 3 cerințe
-
BAC 2026, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 6 + 1x + ln²xx.
Determinați numărul real m pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0, +∞)→R, g(x) = f(x) − 6x, axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = e este egală cu m(1 − 2e).
-
BAC 2026, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = (2x²+4x)·√x+1.
Se consideră funcția g:(0,+∞)→R, g(x)=4√(x+1)f(x). Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g, axa Ox și dreptele de ecuații x=1 și x=4.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x)=5x²−3+ln x.
Determinați numărul real m pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x)=f(x)+3√x, axa Ox și dreptele x=1 și x=4, este egală cu 58+m·ln2.
2025 2 cerințe
-
BAC 2025, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x²(x+1)³.
Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R, g(x) = f(eˣ)eˣ, axa Ox și dreptele de ecuații x = −1 și x = 1 este egală cu e−12(e+1).
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x−1+2ln x.
Determinați numărul real a, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = 3x(f(x)+1), axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 3 este egală cu a + 27ln3.
2024 4 cerințe
-
BAC 2024, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² + 1)eˣ.
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 2 are aria egală cu 3(e² − 1).
-
BAC 2024, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 4x3x² + 1.
Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = 4ln xf(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = e este egală cu 3e² + 54.
-
BAC 2024, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 1x² + x + 1.
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→R, g(x) = eˣ(x² + x + 1)f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 are aria egală cu e + 1.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 3x + 1.
Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R, g(x) = f(x) − x² − 1eˣ, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 este egală cu 3(1 − 2e).
2023 2 cerințe
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−32, +∞)→R, f(x) = eˣ + 62x + 3.
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(−32, +∞)→R, g(x) = (2x² + 3x)f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 are aria egală cu 2(e + 1).
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = 6x + ln(x + 1).
Determinați numărul real a, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R, g(x) = f(x²), axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 este egală cu aπ + ln2.
2021 1 cerință
-
BAC 2021, model · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x√(x² + 1).
Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 are aria egală cu 2(√2 − 1).
2020 1 cerință
-
BAC 2020, model · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞), f(x) = x + 9x.
Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = 2f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 9 are aria egală cu 2ln3.
2019 11 cerințe
-
BAC 2019, model · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xeˣ.
Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = −1 și x = 1 are aria egală cu 2 − 2e.
-
BAC 2019, model · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 1.
Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R, g(x) = xf(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1.
-
BAC 2019, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = 1ln x.
Determinați numărul real a, a > e, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(1,+∞)→R, g(x) = 1f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = e și x = a are aria egală cu 2a.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x³x + 1.
Determinați numărul real a, a > 1, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = (1x³)·f(x), axa Ox, dreptele de ecuații x = 1 și x = a² are aria egală cu ln5.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 8x − 2 pentru x ∈ (−∞, 0] și f(x) = x − 2 pentru x ∈ (0, +∞).
Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = −1 și x = 0 are aria egală cu 173.
-
BAC 2019, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x² + ln x.
Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = 2x − x² + f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = e are aria egală cu e².
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 3eˣ.
Determinați numărul natural nenul n, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = n are aria egală cu 4 − 6e⁻ⁿ.
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √3x² + 6x + 7.
Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0, +∞), suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = a are aria mai mare sau egală cu a√7.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x² + 4.
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→R, g(x) = x·f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = −1 și x = 1, are aria egală cu 10√5 − 163.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x − 1)(x + 1)eˣ.
Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 2.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = 1x + 1 − 1x + 2.
Determinați numărul natural p, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 are aria egală cu ln(p² + 13).
2018 2 cerințe
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 3x² + 2x + 1 + ln x.
Determinați numărul real a, a > 1, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = a are aria egală cu a³ + a² + a − 2.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xeˣ.
Determinați numărul natural nenul n, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = n are aria egală cu 1.
2017 8 cerințe
-
BAC 2017, model · M2 științe · Subiectul al III-lea, b)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 3x² + 3x + 3.
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 3 are aria egală cu ln7.
-
BAC 2017, model · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x.
Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 are aria egală cu 23.
-
BAC 2017, sesiune specială · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = √x(x + 1)².
Determinați numărul real m, m > 0, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = √x·(x + 1)·f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 2 are aria egală cu 1 − ln(m + 1m).
-
BAC 2017, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + x + 1.
Determinați numărul natural n, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 2 are aria egală cu n² − 73.
-
BAC 2017, sesiunea I · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + 3x².
Determinați numărul natural nenul n, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→R, g(x) = f(x) − eˣ, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = n are aria egală cu n² − n + 1.
-
BAC 2017, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 4x³ − x.
Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 3.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x + 2)ⁿ, unde n este număr natural nenul.
Determinați numărul natural nenul n pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = −1 și x = 1 are aria egală cu 242n + 1.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a, rezervă · M1 · Subiectul al III-lea, c)
Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 − 1eˣ + 1.
Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 are aria mai mică decât ln2.