Rădăcini și relațiile lui Viète la BAC
56 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2026, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Polinoame.
Cum rezolvi
Scrii relațiile lui Viète (pentru aX³ + bX² + cX + d: x₁ + x₂ + x₃ = −ba, x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = ca, x₁x₂x₃ = −da) și exprimi expresia cerută prin ele.
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 21 · M2: 35
2026 6 cerințe
-
BAC 2026, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = mX⁴ − mX² + X + 1, unde m este număr real nenul.
Determinați numărul real nenul m pentru care x₁³ + x₂³ + x₃³ + x₄³ = 1, unde x₁, x₂, x₃ și x₄ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2026, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ − 4X² + aX − 2, unde a este număr real.
Pentru a = 3, arătați că x₁x₂x₃ + 2x₁x₂ + 2x₁x₃ + 2x₂x₃ = 8, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2026, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³−aX+2+a, unde a este număr real.
Determinați numărul real a pentru care x₁³+x₂³+x₃³ = x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃, unde x₁,x₂,x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³+X²+aX+8, unde a este număr real.
Determinați numărul real a pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului f este egal cu 2.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³−3X²−2X+m, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care 2 este rădăcină a polinomului f.
-
BAC 2026, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³−3X²−2X+m, unde m este număr real.
Știind că restul împărțirii polinomului f la polinomul g=X−4 este egal cu 14, determinați rădăcinile polinomului f.
2025 7 cerințe
-
BAC 2025, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ − 3X² − 3X + a, unde a este număr real.
Determinați numărul real a pentru care 3x₁ + 3x₂ + 3x₃ − x₁x₂x₃ = 3, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2025, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − 3X² − 3X + a, unde a este număr real.
Pentru a = 9, determinați rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2025, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = aX³+3X²−aX−6, unde a este număr real nenul.
Determinați numărul real nenul a pentru care (1+x₁)(1+x₂)(1+x₃) = 1, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2025, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³−3X²+X+m, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care 2x₁+2x₂+2x₃ = 1+x₁x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X⁴−3X³+X²−2X+m, unde m este număr real.
Determinați numerele reale m pentru care (x₁x₂x₃x₄)² − x₁ − x₂ − x₃ − x₄ = 1, unde x₁, x₂, x₃ și x₄ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³+mX²−X−m, unde m este număr real.
Pentru m = −3, arătați că 3 este rădăcină a polinomului f.
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³+mX²−X−m, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care (x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)² + x₁x₂x₃(x₁+x₂+x₃) = 1, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
2024 8 cerințe
-
BAC 2024, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ + mX² − 2X − 4, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care (x₁x₂x₃)² = x₁ + x₂ + x₃ + x₁x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2024, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + mX² − 2X − 4, unde m este număr real.
Determinați rădăcinile polinomului f, știind că restul împărțirii lui f la polinomul X − 2 este egal cu 8.
-
BAC 2024, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ − 3X² + mX − 1, unde m este număr real.
Arătați că x₁ + x₂ + x₃ = 3x₁x₂x₃, pentru orice număr real m, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2024, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − 2X² − aX + 2a, unde a este număr real.
Determinați a ∈ (0, +∞) pentru care |x₁| + |x₂| + |x₃| = 8, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ + aX² + X + 2 − a, unde a este număr real.
Pentru a = 2, determinați rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + aX² + X + 2 − a, unde a este număr real.
Determinați numărul real a pentru care (x₁ − x₁²)(x₂ − x₂²)(x₃ − x₃²) = 4, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ + mX² + 2X − 5, unde m este număr real.
Determinați numărul real m, știind că 1 este rădăcină a polinomului f.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + mX² + 2X − 5, unde m este număr real.
Determinați numărul natural m pentru care x₁² + x₂² + x₃² = 5, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
2023 5 cerințe
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ + 3X² + mX − 4, unde m este număr real.
Determinați numărul real m, știind că −1 este rădăcină a polinomului f.
-
BAC 2023, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + 3X² + mX − 4, unde m este număr real.
Determinați numerele naturale m pentru care x₁² + x₂² + x₃² > 5, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X⁴ + 2X³ − 8X² + 3mX + m, unde m este număr real.
Pentru m = 0, determinați rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X⁴ + 2X³ − 8X² + 3mX + m, unde m este număr real.
Determinați numărul rațional m pentru care polinomul f are rădăcina x₁ = 1 + √3.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + 2X² + mX − 3, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care (1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃) = x₁x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
2020 2 cerințe
-
BAC 2020, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ − 15X² + mX − 80, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care x₁(x₁ − x₂) + x₂(x₂ − x₃) + x₃(x₃ − x₁) = 0, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2020, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − 15X² + mX − 80, unde m este număr real.
Determinați rădăcinile polinomului f, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.
2019 12 cerințe
-
BAC 2019, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − 7X² + mX − 8, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care polinomul f are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.
-
BAC 2019, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră x₁, x₂, x₃ rădăcinile polinomului f = X³ + mX² − mX + 2, unde m este număr real.
Pentru m = 1, determinați rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2019, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră x₁, x₂, x₃ rădăcinile polinomului f = X³ + mX² − mX + 2, unde m este număr real.
Se consideră a = x₁² + mx₁x₂x₃ + x₂² + mx₂x₁x₃ + x₃² + mx₃x₁x₂. Demonstrați că a ∈ [3, +∞), pentru orice număr real m.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ − 4X² + mX + 2, unde m este număr real.
Demonstrați că, pentru orice număr real m, numărul E = x₁²x₂x₃ + x₁x₂²x₃ + x₁x₂x₃² este întreg, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − 4X² + mX + 2, unde m este număr real.
Pentru m = 3, determinați rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2019, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + X² + mX + n, unde m și n sunt numere reale.
Demonstrați că 3(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ + x₁x₂x₃) − (x₁³ + x₂³ + x₃³) = 1, pentru orice numere reale m și n, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = mX³ + 2X² − mX − 2, unde m este număr real nenul.
Pentru m = 3, determinați rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2019, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = mX³ + 2X² − mX − 2, unde m este număr real nenul.
Determinați numărul real nenul m pentru care 1x₁ + 1x₂ + 1x₃ = −4, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ − mX² + 2X + 3 − m, unde m este număr real.
Pentru m = 3, determinați rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − mX² + 2X + 3 − m, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care x₁³ + x₂³ + x₃³ = (x₁ + x₂ + x₃)³ − 12, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = 2X³ − 4X² + 4X − 3.
Demonstrați că numărul a = 3x₁ + 3x₂ + 3x₃ este natural, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile lui f.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = 2X³ − 4X² + 4X − 3.
Demonstrați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
2018 6 cerințe
-
BAC 2018, model · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = nXⁿ + X² − nX − 1, unde n este număr natural, n ≥ 3.
Arătați că, pentru orice număr natural n, n ≥ 5, polinomul f nu are rădăcini în mulțimea Q − Z.
-
BAC 2018, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = 2X³ − 4X² − 7X + m, unde m este număr real.
Determinați numărul real m, știind că suma a două rădăcini ale polinomului f este egală cu 1.
-
BAC 2018, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = 4X³ − 6X + m, unde m este număr real.
Determinați numărul real nenul m, știind că (1x₁ + 1x₂ + 1x₃)² = (1x₁)·(1x₂)·(1x₃), unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − 2X² − X + m, unde m este număr real.
Determinați numărul real nenul m, știind că x₁x₂x₃ + x₂x₃x₁ + x₃x₁x₂ = 6, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − 4X² + 5X + a, unde a este număr real.
Determinați numărul real a, știind că toate rădăcinile polinomului f sunt numere întregi.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ + mX − 6, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care x₁² + x₂² + x₃² = 4, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
2017 10 cerințe
-
BAC 2017, model · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + aX² + 8X + 3, unde a este număr real.
Demonstrați că, dacă a ∈ (−4, 4), atunci polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
-
BAC 2017, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − 3X² − 6X + 8.
Demonstrați că (x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² + (x₃ + 1)² = 30, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2017, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + aX² + X − 1, unde a este număr real.
Determinați numărul real a pentru care x₁ + x₂ + x₃ + x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = x₁x₂x₃ − 1, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2017, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + mX² + 2X − 4, unde m este număr real.
Determinați numărul real m, știind că 1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + x₁ + x₂ + x₃ = 12, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + 2X² + aX + 1, unde a este număr real.
Determinați numerele reale a pentru care rădăcinile polinomului f au modulele egale.
-
BAC 2017, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = 2X³ + 3X² − X − 2.
Determinați rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Se consideră polinomul f = X³ − (m + 2)X² + (m² + 2)X − 1, unde m este număr real.
Demonstrați că (x₁ − x₂)² + (x₂ − x₃)² + (x₃ − x₁)² = −4(m − 1)², pentru orice număr real m, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ − (m + 2)X² + (m² + 2)X − 1, unde m este număr real.
Determinați numărul real m pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X³ + 3X² − X − 3.
Demonstrați că x₁² + x₂² + x₃² = 11, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a, rezervă · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Se consideră polinomul f = X⁴ + aX² + 4, unde a este număr real.
Determinați rădăcinile polinomului f, știind că f(i) = 0, unde i² = −1.