Inegalități cu legea la BAC
56 de cerințe din subiectele oficiale de Matematică, 2017–2025, toate rezolvate pas cu pas. Le găsești aici la un loc, cu metoda care merge la fiecare. Capitolul: Legi de compoziție și grupuri.
Cum rezolvi
Scrii compunerea ca expresie în x, muți totul într-o parte și studiezi semnul: factorizare, pătrat perfect sau inegalitatea mediilor.
Exersează tipul ăsta
Teoria capitoluluiM1: 7 · M2: 28 · M3: 21
2025 5 cerințe
-
BAC 2025, simulare · M3 · Subiectul al II-lea, 4.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = x + y − xy6 + 1.
Determinați perechile (m, n) de numere întregi, cu m < n, pentru care m ∘ n = 16.
-
BAC 2025, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − 8x − 8y + 8.
Determinați perechile (m, n) de numere naturale, cu m < n, pentru care (8 + m) ∗ (8 + n) = 2.
-
BAC 2025, sesiunea I · M3 · Subiectul al II-lea, 4.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy−6(x+y)+14.
Determinați perechile (m,n) de numere naturale, cu m < n, pentru care (−m)∗(−n) = (m∗n)+36.
-
BAC 2025, sesiunea I · M3 · Subiectul al II-lea, 6.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy−6(x+y)+14.
Arătați că x∗(1x) ≤ 3, pentru orice x∈(0,+∞).
-
BAC 2025, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = (14)(x+1)(y+1) − 1.
Determinați perechile (m,n) de numere naturale, cu m ≤ n, pentru care m∘n = 3.
2024 7 cerințe
-
BAC 2024, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea M = (0, +∞) se definește legea de compoziție x ∘ y = x + y + 1 − √xy + 1.
Determinați numerele naturale nenule n pentru care (n ∘ (n + 2)) ∘ (n + 4) > n²2.
-
BAC 2024, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = xy − x − y + 2.
Arătați că (x − 2) ∘ (x + 2) ≥ −3, pentru orice număr real x.
-
BAC 2024, simulare · M3 · Subiectul al II-lea, 5.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 3(xy − 2x − 2y) + 14.
Arătați că x ∘ y ≥ 2, pentru orice numere reale x ≥ 2 și y ≥ 2.
-
BAC 2024, sesiune specială · M3 · Subiectul al II-lea, 3.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 2xy − 5(x + y) + 15.
Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care x ∘ 4 ≤ 1.
-
BAC 2024, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy − 2x − 3y + 6.
Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care x∗(2∗x) ≥ 2.
-
BAC 2024, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 2(x + y) − xy − 4.
Determinați numerele naturale n pentru care n∘n ≥ n − 2.
-
BAC 2024, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al II-lea, 4.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y = 3xy − 2(x + y − 1).
Determinați numerele naturale n pentru care (3n + 1)∘1 < 7.
2023 9 cerințe
-
BAC 2023, simulare · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Pe mulțimea M = [−1, 1] se definește legea de compoziție x ∗ y = xy1 + √((1 − x²)(1 − y²)).
Arătați că x ∗ (−x) ≥ −x², pentru orice x∈M.
-
BAC 2023, simulare · M3 · Subiectul al II-lea, 4.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∘ y = (13)xy − x − y + 6.
Determinați numerele naturale n pentru care 2 ∘ n < (2n) ∘ 1 + 1.
-
BAC 2023, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x²y² − 4(x + y)² + 1.
Arătați că x ∗ (−1) ≤ 2x, pentru orice număr real x.
-
BAC 2023, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x²y² − 4(x + y)² + 1.
Determinați perechile (m, n) de numere naturale nenule, cu m ≤ n, pentru care m ∗ n = 1.
-
BAC 2023, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = xy + (2ˣ − 2)(2ʸ − 2).
Demonstrați că x∘(−x) ≤ 1, pentru orice număr real x.
-
BAC 2023, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = x² − 4xy + 3y².
Determinați perechile (m, n) de numere întregi, cu m < n, pentru care m∘n = 3.
-
BAC 2023, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = (x − 4)(y − 4) + 4.
Determinați numerele naturale nenule n pentru care (4n)∗n > 4.
-
BAC 2023, sesiunea I · M3 · Subiectul al II-lea, 6.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y − 4.
Arătați că x²∗(1x²) ≥ −2, pentru orice număr real nenul x.
-
BAC 2023, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy + 2x − y − 1.
Arătați că (1 − x)∗x ≤ 2, pentru orice număr real x.
2022 9 cerințe
-
BAC 2022, simulare · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea M = [1, +∞) se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − √(x − 1)(y − 1).
Demonstrați că (nx) ∗ y ≥ x(n ∗ y), pentru orice x, y∈M și orice număr natural n, n ≥ 2.
-
BAC 2022, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = (x + y)(x − 1)(y − 1) + 1.
Determinați numerele naturale n pentru care n ∗ (1 − n) ≥ n².
-
BAC 2022, simulare · M3 · Subiectul al II-lea, 4.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = −(x − 1)(y − 1)3 + 1.
Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ (1 + x) ≥ −3.
-
BAC 2022, simulare · M3 · Subiectul al II-lea, 5.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = −(x − 1)(y − 1)3 + 1.
Determinați cel mai mare număr natural n pentru care n ∗ n ∗ n ≤ n.
-
BAC 2022, sesiune specială · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = x + y − 6xy.
Determinați numerele întregi m pentru care m ∘ (3 − m) < 3.
-
BAC 2022, sesiune specială · M3 · Subiectul al II-lea, 6.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = −(13)xy + (13)(x + y) + 23.
Arătați că (1x) ∗ (1x) ≤ 1, pentru orice număr real nenul x.
-
BAC 2022, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = (x + 2y)(y + 2x) + 2.
Demonstrați că x ∗ (1x) > 7, pentru orice număr real nenul x.
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M1 · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea M = [0, +∞) se definește legea de compoziție x ∗ y = xy(x + y)xy + 1.
Determinați perechile (m, n) de numere naturale nenule, cu m ≤ n, pentru care (1m) ∗ (1n) = (116)·(m ∗ n).
-
BAC 2022, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 4(xy + 1) − 3(x + y).
Determinați valorile reale ale lui x pentru care (x ∘ 1) ∘ (x − 1) ≤ 4.
2021 10 cerințe
-
BAC 2021, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 4xy + x + y.
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x∘x ≤ 2.
-
BAC 2021, model · M3 · Subiectul al II-lea, 5.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = 3xy + 7(x + y) + 14.
Arătați că x∗(1x) ≥ 31, pentru orice număr real x, x > 0.
-
BAC 2021, simulare · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y + x²y².
Determinați numerele întregi x pentru care (−2)∗x ≤ 3.
-
BAC 2021, simulare · M3 · Subiectul al II-lea, 4.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = (x − 1)(y − 1)2 + 1.
Determinați valorile reale ale lui x pentru care x∗(1 − x) ≥ −5.
-
BAC 2021, simulare · M3 · Subiectul al II-lea, 6.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = (x − 1)(y − 1)2 + 1.
Determinați tripletele (m, n, p) de numere naturale, cu m < n < p, pentru care m∗n∗p = 8.
-
BAC 2021, sesiunea I · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = (12)(x + y + |x − y|).
Demonstrați că, dacă a și b sunt numere reale astfel încât a ≤ b, atunci a∗b = b.
-
BAC 2021, sesiunea I · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x² + y² + x + y.
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x²∗x² ≤ 4.
-
BAC 2021, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = 3 − (x − 3)(y − 3).
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x∗(x + 6) ≥ 3.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Pe mulțimea A = [0, +∞) se definește legea de compoziție x∘y = 4ˣʸ − (1 − x − y).
Arătați că x∘(1x) ≥ 5, pentru orice x ∈ A, x ≠ 0.
-
BAC 2021, sesiunea a II-a · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 3x + 4y − 25.
Determinați numerele întregi m pentru care m²∘1 ≥ 1∘m².
2020 3 cerințe
-
BAC 2020, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, b)
Pe mulțimea M = (0,+∞) se definește legea de compoziție x ∘ y = x² + y²xy.
Demonstrați că x ∘ y ≥ 2, pentru orice x, y ∈ M.
-
BAC 2020, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y + 1x² + y² + 1.
Demonstrați că x∗(−x) ≤ 1, pentru orice număr real x.
-
BAC 2020, sesiunea I · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = x² + (x + 1)(y + 1) + y².
Demonstrați că x∘1 ≥ 2, pentru orice număr real x.
2019 5 cerințe
-
BAC 2019, model · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 5xy − 5(x + y) + 6.
Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ x ∗ x < 26.
-
BAC 2019, model · M3 · Subiectul al II-lea, 6.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 2xy − 2x − 2y + 3.
Determinați numerele naturale nenule n pentru care n ∗ (n + 1) ≤ 5.
-
BAC 2019, sesiune specială · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = 5x + 5y − xy − 20.
Determinați valorile reale ale lui x pentru care x∗x ≥ x.
-
BAC 2019, sesiunea I · M3 · Subiectul al II-lea, 6.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 2(xy + x + y) + 1.
Determinați numerele naturale nenule n pentru care n∘(n − 1) ≤ 11.
-
BAC 2019, sesiunea a II-a · M2 științe · Subiectul al II-lea, b)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y = 2xy − 2x − 2y + 3.
Determinați valorile reale ale lui x pentru care x∘x ≤ 9.
2018 5 cerințe
-
BAC 2018, model · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 3xy + 3x + 3y + 2.
Determinați numerele naturale n pentru care n∘(n − 1) < 17.
-
BAC 2018, model · M3 · Subiectul al II-lea, 6.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y − 3.
Determinați numerele naturale n pentru care n∗(n + 1) ≤ 2.
-
BAC 2018, sesiune specială · M1 · Subiectul al II-lea, b)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = (110)xy − (x + y) + 20.
Determinați valorile reale ale lui x pentru care x∗x ≤ 10110.
-
BAC 2018, sesiunea I, rezervă · M2 tehnologic · Subiectul al II-lea, c)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = xy − 9(x + y) + 90.
Determinați numerele naturale n pentru care n∘n ≤ 10.
-
BAC 2018, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al II-lea, 4.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy − 2(x + y) + 6.
Determinați numerele naturale n pentru care n∗n ≤ n.
2017 3 cerințe
-
BAC 2017, model · M3 · Subiectul al II-lea, 5.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y − 2017.
Determinați cel mai mare număr natural n, pentru care n∗n ≤ n.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al II-lea, 5.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy + 7(x + y) + 42.
Determinați numerele reale x, x > 0 pentru care (log₂x)∗(log₂x) = 42.
-
BAC 2017, sesiunea a II-a · M3 · Subiectul al II-lea, 6.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy + 7(x + y) + 42.
Determinați numerele întregi m pentru care m∗(2 − m) ≥ 57.